Aproximación de la Binomial por la Normal y Percentiles de la Normal

**a) En un cierto humedal, la probabilidad de que un renacuajo llegue a rana adulta es del 2%. Si se escogen al azar 2500 de esos renacuajos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 55 de ellos lleguen a ranas adultas?** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de renacuajos que llegan a rana adulta de un total de $n=2500$. Cada renacuajo tiene dos posibilidades (llegar a adulto o no), con una probabilidad de éxito constante $p=0,02$. Por tanto, $X$ sigue una **distribución Binomial**: $$X \sim B(n, p) = B(2500, 0,02)$$ Como el número de experimentos $n$ es muy grande, comprobamos si podemos aproximar por una distribución Normal: 1. $n \cdot p = 2500 \cdot 0,02 = 50 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 2500 \cdot 0,98 = 2450 \gt 5$ Ambas condiciones se cumplen, por lo que podemos aproximar $X$ por una variable Normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$ donde: - $\mu = n \cdot p = 50$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{2500 \cdot 0,02 \cdot 0,98} = \sqrt{49} = 7$ $$\boxed{X \approx X' \sim N(50, 7)}$$ 💡 **Tip:** La aproximación de una Binomial $B(n,p)$ a una Normal $N(np, \sqrt{npq})$ es válida si $np \gt 5$ y $n(1-p) \gt 5$.

Queremos calcular la probabilidad de que al menos 55 lleguen a adultos, es decir, $P(X \ge 55)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**. En este caso, para incluir el valor 55 en el intervalo de la derecha, tomamos: $$P(X \ge 55) \approx P(X' \ge 54,5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P(X' \ge 54,5) = P\left(Z \ge \frac{54,5 - 50}{7}\right) = P\left(Z \ge \frac{4,5}{7}\right) \approx P(Z \ge 0,64)$$ Operamos para buscar en la tabla: $$P(Z \ge 0,64) = 1 - p(Z \le 0,64)$$ Buscando el valor $0,64$ en la tabla de la $N(0, 1)$, obtenemos $0,7389$: $$1 - 0,7389 = 0,2611$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 55) \approx 0,2611}$$

**b) Para conceder becas de estudio, un organismo valora los méritos presentados y asigna a cada candidato una puntuación que indica más méritos cuanto mayor es su valor. Este año, la puntuación sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20, y se toma la decisión de conceder la beca al 5% mejor del conjunto de solicitantes. ¿Qué puntuación es preciso alcanzar para obtener la beca?** Sea $Y$ la variable aleatoria que representa la puntuación de un candidato. El enunciado nos indica que: $$Y \sim N(100, 20)$$ Queremos encontrar la puntuación mínima $k$ tal que solo el 5% de los candidatos (el mejor 5%) la supere. Esto se traduce en: $$P(Y \ge k) = 0,05$$ O lo que es lo mismo, trabajando con la probabilidad acumulada por la izquierda: $$1 - p(Y \le k) = 0,05 \implies p(Y \le k) = 0,95$$ 💡 **Tip:** En una Normal, el "X% mejor" se refiere a los valores más altos, situados en la cola derecha de la campana de Gauss.

Tipificamos la variable $Y$ para pasar a una $Z \sim N(0,1)$: $$p\left(Z \le \frac{k - 100}{20}\right) = 0,95$$ Llamamos $z_0 = \frac{k - 100}{20}$. Debemos buscar en el interior de la tabla de la normal estándar el valor más cercano a $0,95$. Observamos que el valor $0,95$ se encuentra exactamente a la mitad entre $z = 1,64$ ($0,9495$) y $z = 1,65$ ($0,9505$). Por tanto, tomamos el valor medio: $$z_0 = 1,645$$ Ahora despejamos $k$: $$\frac{k - 100}{20} = 1,645$$ $$k - 100 = 1,645 \cdot 20$$ $$k - 100 = 32,9$$ $$k = 132,9$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es preciso alcanzar una puntuación de } 132,9}$$