Probabilidad de Sucesos y Teorema de la Probabilidad Total

**a) Calcule las cuatro probabilidades $P(A), P(A \cap \overline{B}), P(A|B)$ y $P(B|A)$ sabiendo que $P(A \cup B) = 0.8, P(A \cap B) = 0.2$ y $P(A) = 2P(B)$.** Partimos de la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los datos conocidos ($P(A \cup B) = 0.8$, $P(A \cap B) = 0.2$) y la relación $P(A) = 2P(B)$: $$0.8 = 2P(B) + P(B) - 0.2$$ $$0.8 + 0.2 = 3P(B)$$ $$1 = 3P(B) \implies P(B) = \frac{1}{3}$$ Ahora calculamos $P(A)$ usando la relación dada: $$P(A) = 2 \cdot P(B) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la unión siempre resta la intersección para no contar dos veces los elementos comunes. $$\boxed{P(A) = \frac{2}{3} \approx 0.6667}$$

Para calcular $P(A \cap \overline{B})$, recordamos que esta expresión representa la probabilidad de que ocurra $A$ pero no ocurra $B$. Geométricamente, es el conjunto $A$ menos la intersección con $B$: $$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(A \cap \overline{B}) = \frac{2}{3} - 0.2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{5}$$ $$P(A \cap \overline{B}) = \frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}$$ 💡 **Tip:** El suceso $A \cap \overline{B}$ es equivalente a $A \setminus B$. $$\boxed{P(A \cap \overline{B}) = \frac{7}{15} \approx 0.4667}$$

Calculamos ahora las probabilidades condicionadas utilizando la definición $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$: 1. Para $P(A|B)$: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.2}{1/3} = 0.2 \cdot 3 = 0.6$$ 2. Para $P(B|A)$: $$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.2}{2/3} = 0.2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3$$ ✅ **Resultados del apartado a):** $$\boxed{P(A) = \frac{2}{3}, \quad P(A \cap \overline{B}) = \frac{7}{15}, \quad P(A|B) = 0.6, \quad P(B|A) = 0.3}$$

**b) En un conocido congreso, el 60% de los científicos inscritos participan online y el resto asisten en persona. Además, el 65% de los inscritos son europeos y el 80% de los que asisten en persona también lo son. Si se elige al azar a uno de los inscritos, calcule la probabilidad de que sea europeo y, a la vez, participe online; luego, la de que participe online si se sabe que es europeo.** Definimos los sucesos: - $O$: Participa online. $P(O) = 0.60$. - $P$: Asiste en persona (Presencial). $P(P) = 1 - 0.60 = 0.40$. - $E$: Es europeo. $P(E) = 0.65$. Datos adicionales: - El 80% de los presenciales son europeos: $P(E|P) = 0.80$. Representamos la información en un árbol de probabilidad (calculando el valor faltante de $P(E|O)$ mediante el teorema de la probabilidad total más adelante):

Nos piden $P(E \cap O)$. Por el teorema de la probabilidad total, sabemos que: $$P(E) = P(E \cap O) + P(E \cap P)$$ Conocemos $P(E) = 0.65$ y podemos calcular $P(E \cap P)$: $$P(E \cap P) = P(P) \cdot P(E|P) = 0.40 \cdot 0.80 = 0.32$$ Ahora despejamos la probabilidad pedida: $$0.65 = P(E \cap O) + 0.32$$ $$P(E \cap O) = 0.65 - 0.32 = 0.33$$ 💡 **Tip:** Si tienes la probabilidad total y una de sus partes, la otra se obtiene restando. $$\boxed{P(E \cap O) = 0.33}$$

Nos piden la probabilidad condicionada $P(O|E)$. Aplicamos la fórmula de Bayes o la definición de probabilidad condicionada: $$P(O|E) = \frac{P(O \cap E)}{P(E)}$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: - $P(O \cap E) = 0.33$ (calculado en el paso anterior). - $P(E) = 0.65$ (dato del enunciado). $$P(O|E) = \frac{0.33}{0.65} = \frac{33}{65} \approx 0.5077$$ ✅ **Resultado del apartado b):** La probabilidad de ser europeo y participar online es **0.33** y la de participar online si se sabe que es europeo es **33/65**. $$\boxed{P(O|E) = \frac{33}{65} \approx 0.5077}$$