Simetría respecto a un plano y posición relativa de rectas

**a) Calcule el punto simétrico de $P(2, -1, 0)$ con respecto al plano $\pi: x + z + 2 = 0$.** Para hallar el punto simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano $\pi$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar la recta $t$ que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $t$ y el plano $\pi$. 3. El punto $M$ será el punto medio del segmento $PP'$, lo que nos permitirá despejar $P'$. El vector normal del plano $\pi: x + z + 2 = 0$ es: $$\vec{n_\pi} = (1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los coeficientes $(A, B, C)$ de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$ coinciden con las coordenadas del vector normal al plano.

La recta $t$ que buscamos pasa por $P(2, -1, 0)$ y tiene como vector director el vector normal del plano, $\vec{v_t} = \vec{n_\pi} = (1, 0, 1)$. Expresamos la recta $t$ en ecuaciones paramétricas: $$t: \begin{cases} x = 2 + k \\ y = -1 \\ z = k \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una recta perpendicular a un plano tiene el mismo vector director que el vector normal del plano.

Sustituimos las expresiones de la recta $t$ en la ecuación del plano $\pi$ para encontrar el valor del parámetro $k$ en el punto de corte $M$: $$(2 + k) + (k) + 2 = 0$$ $$2k + 4 = 0 \implies 2k = -4 \implies k = -2$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $k = -2$ en la recta $t$: $$M: \begin{cases} x = 2 + (-2) = 0 \\ y = -1 \\ z = -2 \end{cases} \implies \mathbf{M(0, -1, -2)}$$ Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano.

Si $P'(x', y', z')$ es el simétrico de $P$, entonces $M$ es el punto medio del segmento $PP'$: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos componente a componente: $$P' = 2(0, -1, -2) - (2, -1, 0)$$ $$P' = (0, -2, -4) - (2, -1, 0) = (-2, -2 - (-1), -4 - 0) = (-2, -1, -4)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'(-2, -1, -4)}$$

**b) Estudie la posición relativa de las rectas $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{0}$ y $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z+1}{-1}$. Si se cortan, calcule el punto de corte.** Extraemos un punto y un vector director de cada recta: Para la recta $r$: - Punto $P_r(2, -1, 0)$ - Vector director $\vec{v_r} = (1, 1, 0)$ Para la recta $s$: - Punto $P_s(2, -2, -1)$ - Vector director $\vec{v_s} = (2, 1, -1)$ Calculamos el vector que une ambos puntos: $$\vec{P_r P_s} = (2-2, -2-(-1), -1-0) = (0, -1, -1)$$ 💡 **Tip:** Para estudiar la posición relativa, analizaremos el rango de la matriz formada por los vectores directores y el vector que une puntos de ambas rectas.

Primero comprobamos si los vectores directores son proporcionales: $$\frac{1}{2} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{0}{-1}$$ Como no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, o se cortan en un punto (secantes) o se cruzan en el espacio. Calculamos el determinante de la matriz formada por $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y $\vec{P_r P_s}$: $$\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\det = [1\cdot 1\cdot (-1) + 1\cdot (-1)\cdot 0 + 0\cdot 2\cdot (-1)] - [0\cdot 1\cdot 0 + (-1)\cdot (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 2\cdot 1]$$ $$\det = [-1 + 0 + 0] - [0 + 1 - 2] = -1 - (-1) = 0$$ Como el determinante es $0$, el rango de la matriz es 2. Esto significa que los tres vectores son coplanarios y, al no ser los directores paralelos, las rectas **se cortan en un punto**.

Para hallar el punto de corte, escribimos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas usando parámetros distintos: $r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x = 2 + 2\mu \\ y = -2 + \mu \\ z = -1 - \mu \end{cases}$$ Igualamos las componentes: 1) $2 + \lambda = 2 + 2\mu \implies \lambda = 2\mu$ 2) $-1 + \lambda = -2 + \mu$ 3) $0 = -1 - \mu \implies \mu = -1$ Sustituimos $\mu = -1$ en la primera ecuación para hallar $\lambda$: $$\lambda = 2(-1) = -2$$ Comprobamos en la segunda ecuación: $$-1 + (-2) = -2 + (-1) \implies -3 = -3 \quad \text{(Correcto)}$$ Calculamos el punto de corte sustituyendo $\lambda = -2$ en la recta $r$ (o $\mu = -1$ en $s$): $$x = 2 + (-2) = 0$$ $$y = -1 + (-2) = -3$$ $$z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas se cortan en el punto } Q(0, -3, 0)}$$