Geometría en el espacio: Rectas, planos y ángulos

**a) Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por los puntos $P(2, -1, 0)$ y $Q(3, 0, 0)$ y la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por el punto $R(0, 4, -2)$ y es paralelo a los vectores $\vec{u}(1, 0, -1)$ y $\vec{v}(2, 1, -2)$.** Para determinar la recta $r$, necesitamos un punto y un vector director. Tomamos el punto $P(2, -1, 0)$ y el vector director $\vec{d_r}$ como el vector que une $P$ y $Q$: $$\vec{d_r} = \vec{PQ} = Q - P = (3-2, 0-(-1), 0-0) = (1, 1, 0)$$ Las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen expresando cada coordenada en función de un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x = x_0 + \lambda d_1 \\ y = y_0 + \lambda d_2 \\ z = z_0 + \lambda d_3 \\ \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 0 \\ \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para definir una recta basta con un punto y un vector. Si te dan dos puntos, el vector director es la resta de sus coordenadas. ✅ **Resultado (recta r):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 0 \end{cases}}$$

Para hallar la ecuación implícita del plano $\pi$, necesitamos un vector normal $\vec{n_\pi}$, que se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores $\vec{u}(1, 0, -1)$ y $\vec{v}(2, 1, -2)$. Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$\vec{n_\pi} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{n_\pi} = [0\vec{i} + (-2)\vec{j} + 1\vec{k}] - [0\vec{k} + (-\vec{i}) + (-2)\vec{j}]$$ $$\vec{n_\pi} = (0+1)\vec{i} + (-2+2)\vec{j} + (1-0)\vec{k} = 1\vec{i} + 0\vec{j} + 1\vec{k}$$ Por tanto, el vector normal es $\vec{n_\pi} = (1, 0, 1)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores paralelos al plano siempre nos devuelve un vector perpendicular (normal) al mismo.

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituimos $\vec{n_\pi} = (1, 0, 1)$: $$1x + 0y + 1z + D = 0 \implies x + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $R(0, 4, -2)$: $$0 + (-2) + D = 0 \implies D = 2$$ ✅ **Resultado (plano π):** $$\boxed{\pi: x + z + 2 = 0}$$

**b) Calcule el ángulo agudo que forma la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{0}$ con el plano $\pi: x + z + 2 = 0$.** Para calcular el ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano, utilizamos el vector director de la recta $\vec{d_r}$ y el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. De la ecuación continua de la recta extraemos: $$\vec{d_r} = (1, 1, 0)$$ De la ecuación general del plano extraemos: $$\vec{n_\pi} = (1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre recta y plano se calcula con el **seno**, a diferencia del ángulo entre dos planos o dos rectas que usa el coseno, debido a que usamos el vector normal del plano.

Aplicamos la fórmula: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi}|}{|\vec{d_r}| \cdot |\vec{n_\pi}|}$$ 1. Producto escalar: $$|\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi}| = |(1, 1, 0) \cdot (1, 0, 1)| = |1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1| = 1$$ 2. Módulos: $$|\vec{d_r}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{n_\pi}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ 3. Sustitución: $$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ Como $\sin \alpha = 0.5$, calculamos el ángulo: $$\alpha = \arcsin(0.5) = 30^\circ$$ ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = 30^\circ}$$