Área de una región entre una recta y una curva logarítmica

Para calcular el área, primero debemos identificar las funciones que limitan la región y sus puntos de corte. Las desigualdades nos indican que la región está limitada por: 1. La recta vertical $x = 1$. 2. La recta $y = x$. 3. La función $f(x) = x \ln x$. Buscamos el punto de corte entre $y = x$ e $y = x \ln x$ para determinar el límite superior de integración: $$x = x \ln x \implies x - x \ln x = 0 \implies x(1 - \ln x) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: - $x = 0$ (fuera de la región, ya que $x \ge 1$). - $1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$. Por tanto, la región está definida en el intervalo $[1, e]$. 💡 **Tip:** El número $e$ es aproximadamente $2.718$. Los límites de nuestra integral serán $1$ y $e$.

Para realizar el esbozo, observamos el comportamiento de las funciones en el intervalo $[1, e]$: - En $x = 1$: La recta vale $y = 1$ y la función $f(1) = 1 \cdot \ln 1 = 0$. Vemos que la recta está por encima. - En $x = e$: Ambas funciones coinciden en $y = e$. - En el intervalo $(1, e)$, como $\ln x \lt 1$, entonces $x \ln x \lt x$, confirmando que la recta $y = x$ es la función superior. Aquí tienes la representación gráfica de la región:

El área $A$ de la región delimitada por dos funciones se calcula como la integral de la función superior menos la función inferior en el intervalo de integración: $$A = \int_{1}^{e} (x - x \ln x) \, dx$$ Podemos separar la integral por la propiedad de linealidad: $$A = \int_{1}^{e} x \, dx - \int_{1}^{e} x \ln x \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado fuera negativo, habríamos intercambiado el orden de las funciones.

Calculamos primero la integral indefinida $\int x \ln x \, dx$ usando el método de **integración por partes**. Fórmula: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ Elegimos: - $u = \ln x \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \dfrac{x^2}{2}$ Aplicando la fórmula: $$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ $$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$$ Por otro lado, la integral de $x$ es inmediata: $\int x \, dx = \dfrac{x^2}{2}$. Juntando todo, la primitiva de nuestra función área es: $$F(x) = \frac{x^2}{2} - \left( \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right) = \frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x$$

Evaluamos la primitiva entre los límites $1$ y $e$: $$A = \left[ \frac{3x^2}{4} - \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{e}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x=e$): $$F(e) = \frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2} \ln e = \frac{3e^2}{4} - \frac{e^2}{2} \cdot 1 = \frac{3e^2 - 2e^2}{4} = \frac{e^2}{4}$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = \frac{3(1)^2}{4} - \frac{1^2}{2} \ln 1 = \frac{3}{4} - 0 = \frac{3}{4}$$ Restamos ambos valores: $$A = F(e) - F(1) = \frac{e^2}{4} - \frac{3}{4} = \frac{e^2 - 3}{4}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{e^2 - 3}{4} \text{ unidades}^2 \approx 1.097 \text{ u}^2}$$