Cálculo de parámetros y estudio de extremos e inflexión

**a) Si $f(x) = ae^x + b$, diga qué valores deben tener $a$ y $b$ para que se cumplan $f(0) = 0$ y $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$.** Empezamos aplicando la primera condición proporcionada: $f(0) = 0$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de la función: $$f(0) = ae^0 + b$$ Como $e^0 = 1$, tenemos: $$a \cdot 1 + b = 0 \implies a + b = 0 \implies b = -a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier número (distinto de cero) elevado a cero es siempre igual a 1.

Ahora aplicamos la segunda condición: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3$. Sustituimos la expresión de $f(x)$: $$\lim_{x \to 0} \frac{ae^x + b}{x}$$ Al evaluar el límite en $x = 0$, obtenemos $\frac{a + b}{0}$. Como del paso anterior sabemos que $a + b = 0$, nos encontramos ante una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0} \frac{ae^x + b}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(ae^x + b)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{ae^x}{1}$$ Evaluamos el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} ae^x = ae^0 = a$$ Como el enunciado afirma que este límite es igual a 3: $$\boxed{a = 3}$$ Sustituyendo en la relación $b = -a$ hallada anteriormente: $$\boxed{b = -3}$$ 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital permite resolver indeterminaciones $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando numerador y denominador por separado.

**b) Estudie si la función $f(x) = x + \sin x$ tiene extremos o puntos de inflexión en el intervalo $(0, 2\pi)$, diga dónde están en caso de que existan y esboce la gráfica de $f$ en ese intervalo.** Para buscar los extremos relativos, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: $$f'(x) = 1 + \cos x$$ Resolvemos $f'(x) = 0$ en el intervalo $(0, 2\pi)$: $$1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x = \pi$: - Si $x \in (0, \pi)$, $\cos x > -1$, por lo que $f'(x) = 1 + \cos x > 0$. - Si $x \in (\pi, 2\pi)$, $\cos x > -1$, por lo que $f'(x) = 1 + \cos x > 0$. Como la derivada no cambia de signo (la función es siempre creciente), **no existen extremos relativos** (máximos o mínimos) en el intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No tiene extremos relativos en } (0, 2\pi)}$$

Para hallar los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = -\sin x$$ Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión en $(0, 2\pi)$: $$-\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ para confirmar la curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \pi) & \pi & (\pi, 2\pi) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \text{Cóncava ( hacia abajo)} & \text{Inflexión} & \text{Convexa (hacia arriba)} \end{array}$$ Calculamos la coordenada $y$ del punto de inflexión: $$f(\pi) = \pi + \sin(\pi) = \pi + 0 = \pi$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto de inflexión en } (\pi, \pi)}$$

Para esbozar la gráfica en el intervalo $(0, 2\pi)$, tenemos en cuenta: 1. La función es siempre creciente. 2. Pasa por el punto de inflexión $(\pi, \pi)$. 3. En los extremos del intervalo abierto: - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + \sin(0) = 0$ - $\lim_{x \to 2\pi^-} f(x) = 2\pi + \sin(2\pi) = 2\pi$ Presentamos a continuación la representación gráfica: