Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetro

Para discutir el sistema según el parámetro $m$, primero escribimos las matrices asociadas al sistema de ecuaciones: Matriz de coeficientes ($A$): $$A = \begin{pmatrix} m & 2 + m^2 & 0 \\ 0 & m & -1 \\ m & 2 & 2m - 4 \end{pmatrix}$$ Matriz ampliada ($A^*$): $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 2 + m^2 & 0 & 1 + m \\ 0 & m & -1 & 1 \\ m & 2 & 2m - 4 & 5 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** La discusión de un sistema se basa en comparar los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila/columna. En este caso, aplicamos Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 2 + m^2 & 0 \\ 0 & m & -1 \\ m & 2 & 2m - 4 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [m \cdot m \cdot (2m - 4) + (2 + m^2) \cdot (-1) \cdot m + 0 \cdot 0 \cdot 2] - [0 \cdot m \cdot m + (-1) \cdot 2 \cdot m + (2m - 4) \cdot 0 \cdot (2 + m^2)]$$ $$|A| = [m^2(2m - 4) - m(2 + m^2)] - [-2m]$$ $$|A| = 2m^3 - 4m^2 - 2m - m^3 + 2m$$ $$|A| = m^3 - 4m^2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$m^3 - 4m^2 = 0 \implies m^2(m - 4) = 0$$ Las soluciones son **$m = 0$** y **$m = 4$**.

Si $m \neq 0$ y $m \neq 4$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que es el rango máximo posible) - Número de incógnitas $= 3$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, al ser los rangos iguales e iguales al número de incógnitas, el sistema es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, 4 \implies \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $m = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -4 & 5 \end{array}\right)$$ **Rango de A:** Como $|A|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ **Rango de A^*:** Analizamos si el rango de la ampliada puede ser 3. Como la primera columna es de ceros, el único menor de orden 3 que podría ser no nulo es el formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -4 & 5 \end{vmatrix} = [2(-5) + 0 + 0] - [(-2) + 2(-4) + 0] = -10 - [-2 - 8] = -10 + 10 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $\text{rg}(A^*) = 2$. Comparando rangos: $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt \text{número de incógnitas (3)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Sustituimos $m = 4$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 18 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 4 & 5 \end{array}\right)$$ **Rango de A:** Sabemos que $|A|=0$. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 4 & 18 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 16 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ **Rango de A^*:** Comprobamos si existe un menor de orden 3 no nulo usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 4 & 18 & 5 \\ 0 & 4 & 1 \\ 4 & 2 & 5 \end{vmatrix} = [4 \cdot 4 \cdot 5 + 18 \cdot 1 \cdot 4 + 0] - [5 \cdot 4 \cdot 4 + 18 \cdot 0 \cdot 5 + 4 \cdot 1 \cdot 2]$$ $$= [80 + 72] - [80 + 8] = 152 - 88 = 64 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $\text{rg}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 4 \implies \text{Sistema Incompatible (SI)}}$$

Resumiendo la discusión del sistema según los valores de $m$: - Si **$m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 4\}$**: El sistema es **Compatible Determinado**. Existe una única solución. - Si **$m = 0$**: El sistema es **Compatible Indeterminado**. Existen infinitas soluciones. - Si **$m = 4$**: El sistema es **Incompatible**. No existe solución. 💡 **Tip:** Recuerda que para que un sistema tenga solución (sea compatible), los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada deben coincidir.