Ecuación matricial e inversión de matrices

**Despeje la matriz $X$ de la ecuación $XA = A + XB$, si $A$ y $B$ son matrices cuadradas tales que $A - B$ es invertible.** Para despejar $X$, agrupamos los términos que contienen la incógnita en un mismo lado de la igualdad: $$XA - XB = A$$ Ahora, extraemos $X$ como factor común por la izquierda (es fundamental respetar el orden, ya que el producto de matrices no es conmutativo): $$X(A - B) = A$$ Como el enunciado afirma que la matriz $(A - B)$ es invertible, existe su inversa $(A - B)^{-1}$. Multiplicamos por la derecha en ambos lados por dicha inversa: $$X(A - B)(A - B)^{-1} = A(A - B)^{-1}$$ $$X \cdot I = A(A - B)^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al despejar matrices, si multiplicas por una inversa en un lado por la derecha, debes hacerlo también por la derecha en el otro lado: $M \cdot P = Q \implies M = Q \cdot P^{-1}$. $$\boxed{X = A(A - B)^{-1}}$$

Para calcular $X$, primero necesitamos determinar la matriz $B$. Se nos da $B = (A^2 - A - I)^{-1}$. Calculamos primero $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2\cdot 0 & 1\cdot 2 + 2\cdot 0 \\ 0\cdot 1 + 0\cdot 0 & 0\cdot 2 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que $A^2 = A$. Sustituimos este resultado en la expresión de $B$: $$B = (A - A - I)^{-1} = (-I)^{-1}$$ Como la inversa de $-I$ es la propia matriz $-I$ (ya que $-I \cdot -I = I$): $$B = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos la matriz que debemos invertir para hallar $X$, que es $(A - B)$: $$A - B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) & 2 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Para hallar $(A - B)^{-1}$, calculamos primero su determinante: $$|A - B| = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (0 \cdot 2) = 2$$ Como el determinante es distinto de cero, procedemos con la matriz adjunta de la traspuesta: $$(A - B)^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}((A - B)^t) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ La inversa es: $$(A - B)^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

**Calcule $X$ si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = (A^2 - A - I)^{-1}$.** Sustituimos los valores obtenidos en la expresión $X = A(A - B)^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$X = \begin{pmatrix} 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot 0 & 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$$