Distribución Normal: Tensión Arterial

Definimos la variable aleatoria $X$ como la tensión arterial sistólica de un paciente en mmHg. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(123.6, \, 17.8)$$ Donde la media es $\mu = 123.6$ y la desviación típica es $\sigma = 17.8$. Para resolver cualquier probabilidad en una distribución normal, debemos realizar el proceso de **tipificación**, transformando $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$ para calcular probabilidades de cualquier normal $N(\mu, \sigma)$.

**Calcule la probabilidad de que un paciente elegido al azar tenga una tensión comprendida entre $100$ y $120$ mmHg.** Buscamos calcular $p(100 \lt X \lt 120)$. Tipificamos los valores del intervalo: Para $x = 100$: $$z_1 = \frac{100 - 123.6}{17.8} = \frac{-23.6}{17.8} \approx -1.33$$ Para $x = 120$: $$z_2 = \frac{120 - 123.6}{17.8} = \frac{-3.6}{17.8} \approx -0.20$$ Por tanto: $$p(100 \lt X \lt 120) = p(-1.33 \lt Z \lt -0.20)$$ Como la distribución normal es simétrica: $$p(-1.33 \lt Z \lt -0.20) = p(0.20 \lt Z \lt 1.33) = p(Z \le 1.33) - p(Z \le 0.20)$$ Consultamos los valores en la tabla de la normal estándar: - $p(Z \le 1.33) = 0.9082$ - $p(Z \le 0.20) = 0.5793$ Restamos los valores: $$0.9082 - 0.5793 = 0.3289$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(100 \lt X \lt 120) = 0.3289}$$ 💡 **Tip:** Al trabajar con valores negativos en $Z$, recuerda que $p(Z \le -a) = p(Z \ge a) = 1 - p(Z \le a)$ por simetría.

**Obtenga el valor de la tensión que es superado por el $67\%$ de los pacientes.** Buscamos un valor $k$ tal que la probabilidad de que la tensión sea mayor que $k$ sea $0.67$: $$p(X \gt k) = 0.67$$ Tipificamos la expresión: $$p\left(Z \gt \frac{k - 123.6}{17.8}\right) = 0.67$$ Sea $z_0 = \frac{k - 123.6}{17.8}$. Entonces $p(Z \gt z_0) = 0.67$. Como el área a la derecha es mayor que $0.5$, el valor de $z_0$ debe ser **negativo**. Por simetría: $$p(Z \gt z_0) = p(Z \le -z_0) = 0.67$$ Buscamos en la tabla el valor de $Z$ cuya probabilidad acumulada sea lo más cercana posible a $0.67$: En la tabla vemos que para $z = 0.44$, la probabilidad es $0.6700$. Por tanto: $$-z_0 = 0.44 \implies z_0 = -0.44$$ 💡 **Tip:** Si $p(Z \gt z_0) \gt 0.5$, entonces $z_0$ es necesariamente un valor negativo situado a la izquierda de la media.

Ahora que conocemos el valor de $z_0$, despejamos $k$ de la fórmula de tipificación: $$-0.44 = \frac{k - 123.6}{17.8}$$ Multiplicamos por la desviación típica: $$k - 123.6 = -0.44 \cdot 17.8$$ $$k - 123.6 = -7.832$$ Sumamos la media: $$k = 123.6 - 7.832 = 115.768$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 115.768 \text{ mmHg}}$$ El valor de la tensión sistólica que es superado por el $67\%$ de los pacientes es aproximadamente **$115.77$ mmHg**.