Propiedades de la Probabilidad y Distribución Binomial

**a) Calcule $P(A|B)$ si $A \subset B$. Luego, si $P(C) = 0.5$ y $P(D) = 0.6$, explique si $C$ y $D$ pueden ser incompatibles. Por último, obtenga $P(E \cup F)$ y $P(E \cap \overline{F})$ si $E$ y $F$ son independientes, $P(E) = 0.3$ y $P(F) = 0.2$.** Primero, aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Como nos indican que $A \subset B$ (A está contenido en B), la intersección de ambos es el propio suceso A, es decir, $A \cap B = A$. Sustituyendo en la fórmula: $$P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $A \subset B$, siempre se cumple que $P(A \cap B) = P(A)$ y que $P(A) \le P(B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}}$$

Para analizar si $C$ y $D$ pueden ser incompatibles, recordamos que dos sucesos son incompatibles si su intersección es vacía, es decir, $P(C \cap D) = 0$. Utilizamos la propiedad de la probabilidad de la unión: $$P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D)$$ Sabemos que la probabilidad de cualquier suceso (incluida la unión) no puede ser mayor que $1$: $$P(C \cup D) \le 1 \implies P(C) + P(D) - P(C \cap D) \le 1$$ Sustituimos los valores dados: $$0.5 + 0.6 - P(C \cap D) \le 1$$ $$1.1 - P(C \cap D) \le 1 \implies 1.1 - 1 \le P(C \cap D) \implies P(C \cap D) \ge 0.1$$ Como la probabilidad de la intersección debe ser al menos $0.1$, **no puede ser cero**. 💡 **Tip:** Si la suma de las probabilidades de dos sucesos es mayor que 1, los sucesos deben tener obligatoriamente elementos en común (intersección no vacía). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No pueden ser incompatibles porque } P(C \cap D) \ge 0.1}$$

Si $E$ y $F$ son independientes, se cumple que $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$. 1. Calculamos la intersección: $$P(E \cap F) = 0.3 \cdot 0.2 = 0.06$$ 2. Calculamos la unión: $$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) = 0.3 + 0.2 - 0.06 = 0.44$$ 3. Calculamos la probabilidad de $E$ y el contrario de $F$. Como son independientes, $E$ también es independiente de $\overline{F}$: $$P(E \cap \overline{F}) = P(E) \cdot P(\overline{F})$$ $$P(\overline{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0.2 = 0.8$$ $$P(E \cap \overline{F}) = 0.3 \cdot 0.8 = 0.24$$ 💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, su intersección es simplemente el producto de sus probabilidades. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E \cup F) = 0.44, \quad P(E \cap \overline{F}) = 0.24}$$

**b) Se tira un dado siete veces. Calcule la probabilidad de que salgan exactamente dos seises.** Estamos ante un experimento de Bernoulli que se repite $n=7$ veces. Definimos la variable aleatoria: $X$: "Número de seises obtenidos en 7 lanzamientos". Las características son: - Número de ensayos: $n = 7$. - Éxito: Salir un seis. Probabilidad de éxito $p = \frac{1}{6}$. - Fracaso: No salir un seis. Probabilidad de fracaso $q = 1 - p = \frac{5}{6}$. Por tanto, $X$ sigue una distribución binomial: $X \sim B\left(7, \frac{1}{6}\right)$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial se usa cuando tenemos un número fijo de pruebas independientes con solo dos resultados posibles.

Queremos calcular $P(X = 2)$. Usamos la fórmula de la probabilidad binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Sustituimos los valores $n=7, k=2, p=1/6, q=5/6$: $$P(X = 2) = \binom{7}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{7-2}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$$ Ahora operamos: $$P(X = 2) = 21 \cdot \frac{1}{36} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 = 21 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{3125}{7776}$$ $$P(X = 2) = \frac{21 \cdot 3125}{279936} = \frac{65625}{279936} \approx 0.2344$$ 💡 **Tip:** No olvides que el número combinatorio $\binom{n}{k}$ representa las distintas formas en las que pueden ocurrir los $k$ éxitos en los $n$ lanzamientos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=2) = \frac{7291}{31104} \approx 0.2344}$$