Geometría: Distancia y simetría en el espacio

**a) Calcular la distancia de $\pi$ al punto de corte de las rectas $r_1: \begin{cases} x = 2 + \lambda, \\ y = 0, \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ y $r_2: \begin{cases} x = \mu, \\ y = -1 + \mu, \\ z = 0, \end{cases} (\lambda, \mu \in \mathbb{R})$.** Para encontrar el punto de corte $Q$, igualamos las coordenadas de ambas rectas: 1. $2 + \lambda = \mu$ 2. $0 = -1 + \mu$ 3. $-1 - \lambda = 0$ De la ecuación (2) obtenemos directamente $\mu = 1$. De la ecuación (3) obtenemos directamente $\lambda = -1$. Comprobamos si estos valores cumplen la ecuación (1): $$2 + (-1) = 1 \implies 1 = 1$$ Como se cumple la igualdad, las rectas se cortan en un punto. Sustituimos $\mu = 1$ en $r_2$ (o $\lambda = -1$ en $r_1$): $$x = 1, \quad y = -1 + 1 = 0, \quad z = 0$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los parámetros en la ecuación que no se ha usado para asegurar que las rectas realmente se intersecan. El punto de corte es: $$\boxed{Q(1, 0, 0)}$$

Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $Q(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(Q, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ La ecuación del plano es $\pi: 2x - y + z - 1 = 0$, por lo que $A=2, B=-1, C=1$ y $D=-1$. El punto es $Q(1, 0, 0)$. $$d(Q, \pi) = \frac{|2(1) - 1(0) + 1(0) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(Q, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{6} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{d(Q, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{6}}$$

**b) Obtener el punto simétrico de $P(1,0,0)$ con respecto a $\pi$.** Observamos que el punto $P(1,0,0)$ es el mismo punto $Q$ hallado en el apartado anterior. Para hallar el simétrico $P'$, primero trazamos una recta $s$ perpendicular al plano $\pi$ que pase por $P$. El vector director de la recta $s$, $\vec{v}_s$, será el vector normal del plano $\pi$, $\vec{n} = (2, -1, 1)$. Ecuación paramétrica de la recta $s$: $$s: \begin{cases} x = 1 + 2k \\ y = -k \\ z = k \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico $P'$ se encuentra sobre esta recta $s$, a la misma distancia del plano que $P$ pero en el lado opuesto.

El punto de intersección $M$ es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. Sustituimos las coordenadas de la recta $s$ en la ecuación del plano $\pi: 2x - y + z = 1$: $$2(1 + 2k) - (-k) + (k) = 1$$ $$2 + 4k + k + k = 1$$ $$2 + 6k = 1 \implies 6k = -1 \implies k = -\frac{1}{6}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $k = -\frac{1}{6}$ en la recta $s$: $$x_M = 1 + 2\left(-\frac{1}{6}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ $$y_M = -\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6}$$ $$z_M = -\frac{1}{6}$$ El punto de intersección es: $$\boxed{M\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right)}$$

Como $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, se cumple la relación: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'(x', y', z')$: $$x' = 2\left(\frac{2}{3}\right) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$$ $$y' = 2\left(\frac{1}{6}\right) - 0 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$z' = 2\left(-\frac{1}{6}\right) - 0 = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** El punto medio se calcula como la media aritmética de las coordenadas de los extremos: $x_M = (x_P + x_{P'})/2$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{P'\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)}$$ Visualización geométrica de la simetría: