Posición relativa de recta y plano con parámetros

**a) Considérense el plano $\pi: ax + y + z = 1$, donde $a$ es un parámetro real, y la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{3}$. Estudie la posición relativa de $\pi$ y $r$ en función de $a$ y obtenga el valor de $a$ que hace que $\pi$ y $r$ sean perpendiculares. Por último, razone si $r$ puede estar contenida en $\pi$ o no.** Primero extraemos el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ y el vector director de la recta $\vec{v}_r$, así como un punto $P_r$ de la misma: - Plano $\pi: ax + y + z = 1 \implies \vec{n}_\pi = (a, 1, 1)$ - Recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{3} \implies \vec{v}_r = (2, 3, 3)$ y un punto $P_r(1, 0, -1)$ 💡 **Tip:** Para una recta en forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

La posición relativa depende del producto escalar entre el vector director de la recta y el normal del plano: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (2, 3, 3) \cdot (a, 1, 1) = 2a + 3 + 3 = 2a + 6$$ Analizamos los casos: 1. **Si $2a + 6 \neq 0 \implies a \neq -3$**: El vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano, por lo tanto, la recta y el plano se cortan en un punto (**recta y plano secantes**). 2. **Si $2a + 6 = 0 \implies a = -3$**: El vector director de la recta es perpendicular al normal del plano. Esto significa que la recta es **paralela** al plano o está **contenida** en él. Para distinguir si es paralela o contenida, comprobamos si el punto $P_r(1, 0, -1)$ pertenece al plano $\pi$ cuando $a = -3$: $$-3(1) + (0) + (-1) = -4 \neq 1$$ Como el punto no cumple la ecuación del plano, la recta es estrictamente **paralela**. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\text{Si } a \neq -3: \text{secantes; si } a = -3: \text{paralelos}}$$

Para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ deben ser paralelos (proporcionales): $$\vec{v}_r \parallel \vec{n}_\pi \implies \frac{a}{2} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$ De la igualdad $\frac{a}{2} = \frac{1}{3}$, despejamos $a$: $$3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Una recta es perpendicular a un plano si su dirección coincide con la dirección normal del plano. ✅ **Resultado (perpendicularidad):** $$\boxed{a = \frac{2}{3}}$$

Para que la recta $r$ esté contenida en $\pi$, deben cumplirse dos condiciones: 1. Que sean paralelos (el vector director de la recta sea perpendicular al normal del plano): $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$. 2. Que un punto de la recta pertenezca al plano: $P_r \in \pi$. En el paso 2 vimos que la condición de paralelismo ocurre solo cuando $a = -3$. Sin embargo, al sustituir $P_r(1, 0, -1)$ en el plano para ese valor de $a$, obtuvimos: $$-3(1) + 0 + (-1) = -4 \neq 1$$ Como el punto $P_r$ nunca pertenece al plano cuando la recta es paralela a este, concluimos que: ✅ **Resultado (razonamiento):** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ no puede estar contenida en } \pi \text{ para ningún valor de } a}$$

**b) Si $\pi: -3x + y + z = 1$, diga qué valor tiene que tomar $b$ para que $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-b}{3} = \frac{z+1}{3}$ esté contenida en $\pi$.** En este apartado, $a = -3$, por lo que ya sabemos que $\vec{v}_r = (2, 3, 3)$ es perpendicular a $\vec{n}_\pi = (-3, 1, 1)$ ya que $(-3)(2) + (1)(3) + (1)(3) = -6 + 6 = 0$. Para que la recta esté contenida, el punto genérico de la recta $P_r(1, b, -1)$ debe pertenecer al plano: $$-3(1) + b + (-1) = 1$$ Resolvemos la ecuación para $b$: $$-3 + b - 1 = 1$$ $$b - 4 = 1 \implies b = 5$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano y uno de sus puntos pertenece a él, toda la recta está contenida en dicho plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = 5}$$