Cálculo de integrales mediante cambio de variable e integración por partes

**a) Calcule mediante cambio de variable las integrales $\int (\sin x)^5 \cos x \, dx$ y $\int (\ln x)/x \, dx$.** Para la integral $I_1 = \int (\sin x)^5 \cos x \, dx$, observamos que la derivada del seno es el coseno, por lo que realizamos el siguiente cambio de variable: - Sea $t = \sin x$ - Diferenciamos: $dt = \cos x \, dx$ Sustituimos en la integral: $$I_1 = \int t^5 \, dt$$ Aplicamos la regla de integración para potencias $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$: $$I_1 = \frac{t^6}{6} + C$$ Deshacemos el cambio de variable volviendo a $x$: $$I_1 = \frac{(\sin x)^6}{6} + C$$ 💡 **Tip:** Identificar una función y su derivada dentro del integrando es la clave para elegir el cambio de variable adecuado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int (\sin x)^5 \cos x \, dx = \frac{\sin^6 x}{6} + C}$$

Para la integral $I_2 = \int \frac{\ln x}{x} \, dx$, observamos que la derivada del logaritmo neperiano es $\frac{1}{x}$, lo que sugiere el cambio: - Sea $t = \ln x$ - Diferenciamos: $dt = \frac{1}{x} \, dx$ Sustituimos en la integral: $$I_2 = \int t \, dt$$ Integramos como una potencia: $$I_2 = \frac{t^2}{2} + C$$ Deshacemos el cambio de variable: $$I_2 = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C}$$

**b) Calcule $\int (\ln x)/x \, dx$ empleando el método de integración por partes. Luego, obtenga algún valor de $B$ tal que $\int_{e}^{B} (\ln x)/x \, dx = 3/2$.** Recordamos la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Para $I = \int \frac{\ln x}{x} \, dx$, elegimos: - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} \, dx$ - $dv = \frac{1}{x} \, dx \implies v = \ln x$ Aplicamos la fórmula: $$\int \frac{\ln x}{x} \, dx = (\ln x)(\ln x) - \int (\ln x) \frac{1}{x} \, dx$$ $$\int \frac{\ln x}{x} \, dx = (\ln x)^2 - \int \frac{\ln x}{x} \, dx$$ Agrupamos la integral en el lado izquierdo: $$2 \int \frac{\ln x}{x} \, dx = (\ln x)^2 + C'$$ $$\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$ 💡 **Tip:** Al resolver integrales "cíclicas" por partes, simplemente despeja la integral buscada como si fuera una incógnita en una ecuación algebraica. ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C}$$

Ahora aplicamos la Regla de Barrow para resolver la integral definida entre $e$ y $B$: $$\int_{e}^{B} \frac{\ln x}{x} \, dx = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_{e}^{B} = \frac{(\ln B)^2}{2} - \frac{(\ln e)^2}{2}$$ Como $\ln e = 1$, la expresión se simplifica a: $$\frac{(\ln B)^2}{2} - \frac{1}{2}$$ Igualamos al valor dado en el enunciado ($3/2$): $$\frac{(\ln B)^2 - 1}{2} = \frac{3}{2}$$ $$(\ln B)^2 - 1 = 3$$ $$(\ln B)^2 = 4$$ Esto nos da dos posibles valores para $\ln B$: 1. $\ln B = 2 \implies B = e^2$ 2. $\ln B = -2 \implies B = e^{-2}$ Como el enunciado nos pide "algún valor de $B$", podemos elegir cualquiera de ellos. Generalmente se toma el valor que cumple $B \gt e$. 💡 **Tip:** $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado (valor de B):** $$\boxed{B = e^2}$$