Teoremas de Rolle y del Valor Medio

**a) Enuncie los teoremas de Rolle y del valor medio del cálculo diferencial.** Comenzamos enunciando el **Teorema de Rolle**: Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes tres condiciones: 1. Es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Los valores de la función en los extremos son iguales: $f(a) = f(b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que la derivada en dicho punto es nula: $$f'(c) = 0$$ 💡 **Tip:** Geométricamente, el teorema de Rolle nos asegura que si una función continua y derivable empieza y acaba a la misma altura, debe haber al menos un punto donde la recta tangente sea horizontal.

Continuamos con el **Teorema del Valor Medio (o de Lagrange)**: Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes condiciones: 1. Es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que la derivada en ese punto es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$: $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ 💡 **Tip:** Este teorema es una generalización del de Rolle. Nos dice que existe un punto donde la tangente es paralela a la cuerda (recta secante) que une los extremos del intervalo.

**b) Explique si $f: [0,1] \to \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{1 - x^2}$, está o no en las hipótesis del teorema del valor medio del cálculo diferencial.** Analizamos las condiciones para $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ en el intervalo $[0, 1]$: 1. **Continuidad:** La función es una raíz cuadrada de un polinomio. Está definida y es continua cuando el radicando es no negativo: $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]$. Como nuestro intervalo es $[0, 1] \subset [-1, 1]$, la función es **continua en $[0, 1]$**. 2. **Derivabilidad:** Calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$$ La derivada existe siempre que el denominador no sea cero, es decir, $1 - x^2 \gt 0 \implies x \in (-1, 1)$. Como el intervalo abierto $(0, 1) \subset (-1, 1)$, la función es **derivable en $(0, 1)$**. Al cumplirse ambas condiciones, la función **sí está en las hipótesis del Teorema del Valor Medio**. 💡 **Tip:** Recuerda que para la continuidad se mira el intervalo cerrado, pero para la derivabilidad basta con el intervalo abierto. En $x=1$ la derivada no existe porque el denominador se anula, pero eso no impide que se cumpla la hipótesis en $(0, 1)$.

**En caso de que lo esté, calcule un valor $c$ para el cual se cumpla la tesis de ese teorema.** La tesis del teorema afirma que existe $c \in (0, 1)$ tal que $f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}$. Primero, calculamos los valores en los extremos: - $f(0) = \sqrt{1 - 0^2} = 1$ - $f(1) = \sqrt{1 - 1^2} = 0$ La pendiente de la secante es: $$\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{0 - 1}{1} = -1$$ Ahora igualamos la derivada a $-1$: $$f'(c) = -1 \implies \frac{-c}{\sqrt{1 - c^2}} = -1 \implies \frac{c}{\sqrt{1 - c^2}} = 1$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros (sabiendo que $c \gt 0$): $$c^2 = 1 - c^2 \implies 2c^2 = 1 \implies c^2 = \frac{1}{2} \implies c = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Racionalizando el resultado: $$c = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Como $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, este valor pertenece al intervalo $(0, 1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Podemos visualizar la función (un arco de circunferencia), la recta secante que une $(0,1)$ y $(1,0)$ con pendiente $-1$, y el punto $c$ donde la tangente es paralela a dicha secante.