Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetros

Para discutir el sistema según el parámetro $m$, primero escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} m+1 & 0 & 1 \\ m+1 & 1 & 1 \\ m+1 & m & m-1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m+1 & 0 & 1 & 1 \\ m+1 & 1 & 1 & m+1 \\ m+1 & m & m-1 & m \end{array}\right)$$ El estudio se basará en comparar el rango de estas matrices utilizando el **Teorema de Rouché-Capelli**. 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. El sistema será compatible si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$.

Calculamos el determinante de $A$ para identificar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} m+1 & 0 & 1 \\ m+1 & 1 & 1 \\ m+1 & m & m-1 \end{vmatrix}$$ Podemos simplificar el cálculo extrayendo el factor $(m+1)$ de la primera columna (aplicando propiedades de los determinantes): $$|A| = (m+1) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m-1 \end{vmatrix}$$ Ahora resolvemos el determinante de orden 3 por la regla de Sarrus: $$|A| = (m+1) [ (1 \cdot 1 \cdot (m-1) + 0 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot m) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + m \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot (m-1)) ]$$ $$|A| = (m+1) [ (m-1 + m) - (1 + m) ]$$ $$|A| = (m+1) [ 2m - 1 - 1 - m ] = (m+1)(m-2)$$ Igualamos a cero para hallar los valores críticos: $$(m+1)(m-2) = 0 \implies \mathbf{m = -1} \quad y \quad \mathbf{m = 2}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el rango de $A$ es máximo (3) y el sistema es Compatible Determinado.

Si $m \neq -1$ y $m \neq 2$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ tiene dimensión $3 \times 4$, su rango también es 3 (no puede ser mayor al número de filas). Además, el número de incógnitas es $n=3$. Por el **Teorema de Rouché-Capelli**, al cumplirse $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq -1 \text{ y } m \neq 2, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $m = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \end{array}\right)$$ Analizamos el rango de $A$: La primera columna es nula, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Analizamos el rango de $A^*$: Calculamos el determinante de un menor de orden 3 que incluya la columna de términos constantes: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = (0+0-2) - (-1+0-1) = -2 - (-2) = 0$$ Como todos los posibles menores de orden 3 son nulos (ya que la columna 1 es cero), $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Sustituimos $m = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Analizamos el rango de $A$: Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Analizamos el rango de $A^*$: Calculamos el determinante formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (0+6+1) - (2+0+2) = 7 - 4 = 3 \neq 0$$ Esto significa que $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, por el Teorema de Rouché-Capelli el sistema no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 2, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$