Ecuaciones matriciales y determinantes

**a) Calcule $X$ si $(AX)^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.** Primero, simplificamos la ecuación matricial aplicando la propiedad de la transpuesta. Sabemos que $(M^T)^T = M$, por lo que transponemos ambos lados de la igualdad: $$\left((AX)^T\right)^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^T \implies AX = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$, es decir, $A^{-1}$, siempre que esta exista: $$A^{-1}AX = A^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies X = A^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el orden de la multiplicación importa en matrices. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Calculamos el determinante de $A$ para comprobar si es invertible: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (1)(-1) = 1 + 1 = 2$$ Como $|A| \neq 0$, existe $A^{-1}$. La calculamos mediante la matriz de adjuntos: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \implies Adj(A)^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ La fórmula de la inversa es $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} Adj(A)^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar el signo de los de la secundaria, dividiendo todo por el determinante.

Sustituimos $A^{-1}$ en la expresión de $X$ hallada en el paso 1: $$X = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento (1,1): $(\frac{1}{2} \cdot 1) + (-\frac{1}{2} \cdot 0) = \frac{1}{2}$ - Elemento (1,2): $(\frac{1}{2} \cdot 2) + (-\frac{1}{2} \cdot 1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ - Elemento (2,1): $(\frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{1}{2} \cdot 0) = \frac{1}{2}$ - Elemento (2,2): $(\frac{1}{2} \cdot 2) + (\frac{1}{2} \cdot 1) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 3/2 \end{pmatrix}}$$

**b) Si $A = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ es invertible, obtenga los valores de $x, y$ y $z$ sabiendo que $\det(A - 3I) = 0$, que $y \neq 0$ y que $(3z)A^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$.** Primero, calculamos la matriz $A - 3I$: $$A - 3I = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & x \\ y & z - 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante e igualamos a cero: $$\det(A - 3I) = \begin{vmatrix} 0 & x \\ y & z - 3 \end{vmatrix} = 0(z - 3) - xy = -xy = 0$$ Como el enunciado indica que **$y \neq 0$**, la única posibilidad para que el producto sea cero es que: $$\boxed{x = 0}$$

Utilizamos la segunda condición: $(3z)A^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$. Primero despejamos el término con la inversa: $$(3z)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Para evitar calcular $A^{-1}$ con incógnitas, multiplicamos por la derecha por la matriz $A$ en ambos miembros: $$(3z)A^{-1}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} A \implies (3z)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ y & z \end{pmatrix}$$ Sustituyendo el valor de $x=0$ en $A$: $$\begin{pmatrix} 3z & 0 \\ 0 & 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 0 \cdot y & 1 \cdot 0 + 0 \cdot z \\ -1 \cdot 3 + 3 \cdot y & -1 \cdot 0 + 3 \cdot z \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 3z & 0 \\ 0 & 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 3y - 3 & 3z \end{pmatrix}$$ Igualamos los elementos correspondientes de las matrices: 1) $3z = 3 \implies \mathbf{z = 1}$ 2) $3y - 3 = 0 \implies 3y = 3 \implies \mathbf{y = 1}$ Verificamos que $A$ es invertible con estos valores: $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $|A| = 3 \neq 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 0, \quad y = 1, \quad z = 1}$$