Probabilidad en distribución binomial. Mensajes con errores

**a) La probabilidad de que escriba exactamente 5 mensajes con errores ortográficos. (0.75 puntos)** En primer lugar, identificamos el tipo de experimento. Se trata de un proceso de Bernouilli donde cada mensaje es independiente de los demás y solo hay dos posibilidades: tener errores o no tenerlos. Definimos la variable aleatoria: $X = \text{"Número de mensajes con errores ortográficos de un total de 15"}$ Esta variable sigue una **distribución binomial** de parámetros $n = 15$ (número de ensayos) y $p = 0.3$ (probabilidad de éxito, en este caso, tener un error): $$X \sim B(15, \, 0.3)$$ Donde la probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se aplica cuando realizamos $n$ pruebas independientes y la probabilidad de éxito $p$ permanece constante.

Para calcular la probabilidad de que $X$ tome un valor exacto $k$, usamos la fórmula: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Para $k = 5$: $$P(X = 5) = \binom{15}{5} \cdot 0.3^5 \cdot 0.7^{15-5}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(X = 5) = 3003 \cdot 0.3^5 \cdot 0.7^{10}$$ $$P(X = 5) = 3003 \cdot 0.00243 \cdot 0.0282475 \approx 0.2061$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 5) \approx 0.2061}$$

**b) La probabilidad de que escriba 4 ó más mensajes con errores. (0.75 puntos)** Se nos pide calcular $P(X \ge 4)$. Calcular esto directamente implicaría sumar $P(X=4) + P(X=5) + \dots + P(X=15)$, lo cual es muy laborioso. Es más eficiente utilizar el **suceso contrario**: $$P(X \ge 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)]$$ Calculamos cada probabilidad individual: - $P(X=0) = \binom{15}{0} \cdot 0.3^0 \cdot 0.7^{15} = 1 \cdot 1 \cdot 0.004747 \approx 0.0047$ - $P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^{14} = 15 \cdot 0.3 \cdot 0.006782 \approx 0.0305$ - $P(X=2) = \binom{15}{2} \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^{13} = 105 \cdot 0.09 \cdot 0.009689 \approx 0.0916$ - $P(X=3) = \binom{15}{3} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7^{12} = 455 \cdot 0.027 \cdot 0.013841 \approx 0.1700$ Sumamos estas probabilidades: $$P(X < 4) = 0.0047 + 0.0305 + 0.0916 + 0.1700 = 0.2968$$ Finalmente: $$P(X \ge 4) = 1 - 0.2968 = 0.7032$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan una probabilidad del tipo "al menos x" o "x o más", evalúa si es más rápido calcular el suceso complementario. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 4) \approx 0.7032}$$

**c) La media y la desviación típica de la distribución. (0.5 puntos)** En una distribución binomial $B(n, p)$, los parámetros estadísticos se calculan con las siguientes fórmulas: 1. **Media (esperanza matemática):** $$\mu = n \cdot p$$ $$\mu = 15 \cdot 0.3 = 4.5$$ 2. **Desviación típica:** $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$$ $$\sigma = \sqrt{15 \cdot 0.3 \cdot 0.7} = \sqrt{3.15} \approx 1.7748$$ 💡 **Tip:** La media representa el número esperado de mensajes con errores en el largo plazo, y la desviación típica mide la dispersión de los datos respecto a esa media. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 4.5; \quad \sigma \approx 1.7748}$$