Probabilidad de sucesos y probabilidad condicionada

Primero, definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $F$: "Al alumno le gusta el fútbol". - $B$: "Al alumno le gusta el balonmano". Los datos proporcionados en términos de probabilidad son: - $P(F) = 0.80$ - $P(B) = 0.40$ - $P(F \cap B) = 0.30$ (probabilidad de que le gusten ambos). Para visualizar mejor la situación, podemos completar una **tabla de contingencia** (o de doble entrada) con las probabilidades: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline F & 0.30 & 0.50 & 0.80 \\ \bar{F} & 0.10 & 0.10 & 0.20 \\ \hline \text{Total} & 0.40 & 0.60 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las sumas de las filas y columnas deben coincidir con los totales marginales. Por ejemplo, $P(F \cap \bar{B}) = P(F) - P(F \cap B) = 0.80 - 0.30 = 0.50$.

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)? (0.5 puntos)** Esta pregunta se refiere a la probabilidad de la unión de los dos sucesos, es decir, $P(F \cup B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(F \cup B) = P(F) + P(B) - P(F \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(F \cup B) = 0.80 + 0.40 - 0.30 = 0.90$$ 💡 **Tip:** La unión $A \cup B$ representa que ocurre al menos uno de los dos sucesos. Restamos la intersección para no contar dos veces a los alumnos que les gustan ambos deportes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F \cup B) = 0.90}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste solo el fútbol? (0.75 puntos)** Que le guste "solo el fútbol" significa que le gusta el fútbol Y NO le gusta el balonmano. Esto se expresa como $P(F \cap \bar{B})$ o $P(F - B)$. Calculamos esta probabilidad restando de los que les gusta el fútbol a aquellos que les gustan ambos deportes: $$P(F \cap \bar{B}) = P(F) - P(F \cap B)$$ Sustituimos los datos: $$P(F \cap \bar{B}) = 0.80 - 0.30 = 0.50$$ Este valor también se puede observar directamente en la tabla de contingencia realizada en el primer paso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F \cap \bar{B}) = 0.50}$$

**c) Si sabemos que no le gusta el fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el balonmano? (0.75 puntos)** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar la probabilidad de que le guste el balonmano ($B$) sabiendo que no le gusta el fútbol ($\bar{F}$), es decir, $P(B | \bar{F})$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(B | \bar{F}) = \frac{P(B \cap \bar{F})}{P(\bar{F})}$$ Primero, calculamos los componentes necesarios: - $P(\bar{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0.80 = 0.20$ - $P(B \cap \bar{F}) = P(B) - P(F \cap B) = 0.40 - 0.30 = 0.10$ Sustituimos en la fórmula: $$P(B | \bar{F}) = \frac{0.10}{0.20} = 0.5$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada reduce nuestro "universo" de estudio. En este caso, solo nos fijamos en el 20% de alumnos a los que no les gusta el fútbol; de ellos, la mitad (0.10) sí practica balonmano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B | \bar{F}) = 0.5}$$