Área encerrada por una función cúbica y el eje OX

Para calcular el área encerrada por la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas (eje $OX$, cuya ecuación es $y=0$), primero debemos hallar los puntos de intersección entre ambos. Igualamos la función a cero: $$x^3 - 4x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 4) = 0$$ Esto nos da tres soluciones posibles: 1. $x = 0$ 2. $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$ Los puntos de corte son **$x = -2$**, **$x = 0$** y **$x = 2$**. Estos valores dividirán nuestra región en dos recintos de integración: $[-2, 0]$ y $[0, 2]$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte con el eje $OX$ determinan los límites de las integrales definidas que necesitaremos para calcular el área.

Para aplicar la Regla de Barrow, necesitamos encontrar una primitiva de la función $f(x) = x^3 - 4x$. Calculamos la integral indefinida: $$F(x) = \int (x^3 - 4x) \, dx = \frac{x^4}{4} - 4\frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{4} - 2x^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar potencias usamos $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ (siempre que $n \neq -1$). $$\boxed{F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^2}$$

Calculamos el valor de la integral definida en cada uno de los dos recintos encontrados. **Primer recinto: $I_1$ en $[-2, 0]$** $$A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = [F(x)]_{-2}^{0} = F(0) - F(-2)$$ $$F(0) = \frac{0^4}{4} - 2(0)^2 = 0$$ $$F(-2) = \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 = \frac{16}{4} - 2(4) = 4 - 8 = -4$$ $$A_1 = 0 - (-4) = 4$$ **Segundo recinto: $I_2$ en $[0, 2]$** $$A_2 = \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = [F(x)]_{0}^{2} = F(2) - F(0)$$ $$F(2) = \frac{2^4}{4} - 2(2)^2 = 4 - 8 = -4$$ $$F(0) = 0$$ $$A_2 = -4 - 0 = -4$$ 💡 **Tip:** La **Regla de Barrow** nos dice que $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$.

El área total es la suma de los valores absolutos de las integrales obtenidas en cada intervalo, ya que el área siempre debe ser una cantidad positiva. $$Área = |A_1| + |A_2|$$ $$Área = |4| + |-4| = 4 + 4 = 8$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Área = 8 \text{ unidades cuadradas}}$$