Cálculo de una integral racional indefinida

Para resolver la integral de una función racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador, primero debemos factorizar el denominador $x^2 + x - 6$. Buscamos las raíces de la ecuación de segundo grado $x^2 + x - 6 = 0$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$ Por tanto, la factorización del denominador es: $$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador fuera mayor o igual al del denominador, primero deberíamos realizar la división de polinomios.

Expresamos la fracción original como una suma de fracciones simples con coeficientes $A$ y $B$ por determinar: $$\frac{17 - x}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 3}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras obtener el común denominador: $$17 - x = A(x + 3) + B(x - 2)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ sustituyendo $x$ por las raíces halladas anteriormente: - Si **$x = 2$**: $$17 - 2 = A(2 + 3) + B(2 - 2) \implies 15 = 5A \implies \mathbf{A = 3}$$ - Si **$x = -3$**: $$17 - (-3) = A(-3 + 3) + B(-3 - 2) \implies 20 = -5B \implies \mathbf{B = -4}$$ La fracción descompuesta queda: $$\frac{17 - x}{x^2 + x - 6} = \frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x + 3}$$ 💡 **Tip:** Este método se llama descomposición en fracciones simples y permite transformar una integral compleja en varias integrales inmediatas de tipo logarítmico.

Sustituimos la expresión descompuesta en la integral original y aplicamos la propiedad de linealidad de la integral: $$\int \frac{17 - x}{x^2 + x - 6} dx = \int \left( \frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x + 3} \right) dx$$ $$\int \frac{3}{x - 2} dx - \int \frac{4}{x + 3} dx$$ Extraemos las constantes y resolvemos las integrales inmediatas (recordando que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$): $$3 \ln|x - 2| - 4 \ln|x + 3| + C$$ Opcionalmente, usando las propiedades de los logaritmos, el resultado también puede expresarse como: $$\ln|x - 2|^3 - \ln|x + 3|^4 + C = \ln\left|\frac{(x - 2)^3}{(x + 3)^4}\right| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{3 \ln|x - 2| - 4 \ln|x + 3| + C}$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca añadir la constante de integración $C$ al final de una integral indefinida.