Teorema de Rolle con parámetros en una función a trozos

**Calcular $a, b$ y $c$ para que la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \le x < 1 \\ cx & \text{si } 1 \le x \le 4 \end{cases}$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 4]$.** Para que una función $f(x)$ cumpla las hipótesis del **teorema de Rolle** en un intervalo cerrado $[a, b]$, deben verificarse tres condiciones: 1. $f(x)$ debe ser **continua** en el intervalo cerrado $[0, 4]$. 2. $f(x)$ debe ser **derivable** en el intervalo abierto $(0, 4)$. 3. Los valores de la función en los extremos deben coincidir, es decir, **$f(0) = f(4)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el teorema de Rolle garantiza que, si se cumplen estas condiciones, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$.

La función está definida por dos ramas polinómicas, que son continuas en sus respectivos dominios. El único punto de posible discontinuidad es el salto entre intervalos en $x = 1$. Para que sea continua en $x = 1$, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función: - Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = 1^2 + a(1) + b = 1 + a + b$$ - Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} (cx) = c(1) = c$$ - Valor de la función: $$f(1) = c$$ Igualamos para asegurar la continuidad: $$1 + a + b = c \implies a + b - c = -1 \quad \text{(Ecuación 1)}$$

Calculamos primero la derivada de la función en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } 0 < x < 1 \\ c & \text{si } 1 < x < 4 \end{cases}$$ Para que la función sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales en ese punto deben coincidir: - Derivada por la izquierda: $$f'(1^-) = 2(1) + a = 2 + a$$ - Derivada por la derecha: $$f'(1^+) = c$$ Igualamos las derivadas laterales: $$2 + a = c \implies a - c = -2 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que primero sea continua en dicho punto.

La tercera hipótesis del teorema de Rolle exige que $f(0) = f(4)$. - Calculamos $f(0)$ usando la primera rama: $$f(0) = 0^2 + a(0) + b = b$$ - Calculamos $f(4)$ usando la segunda rama: $$f(4) = c(4) = 4c$$ Igualamos ambos valores: $$b = 4c \quad \text{(Ecuación 3)}$$

Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1. $a + b - c = -1$ 2. $a - c = -2$ 3. $b = 4c$ Sustituimos la Ecuación 2 ($a - c = -2$) en la Ecuación 1: $$(a - c) + b = -1 \implies -2 + b = -1 \implies b = 1$$ Ahora, usamos el valor de $b$ en la Ecuación 3 para hallar $c$: $$1 = 4c \implies c = \frac{1}{4}$$ Finalmente, sustituimos $c$ en la Ecuación 2 para hallar $a$: $$a - \frac{1}{4} = -2 \implies a = -2 + \frac{1}{4} = -\frac{8}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -\frac{7}{4}, \quad b = 1, \quad c = \frac{1}{4}}$$