Teorema de Bolzano y aproximación de raíces

**a) Comprobar que hay alguna solución positiva y alguna negativa de la ecuación $x \cdot \cos(2x) = x^2 - 1$.** Para resolver este problema, definimos una función auxiliar trasladando todos los términos a un lado de la igualdad. Sea: $$f(x) = x \cdot \cos(2x) - x^2 + 1$$ Las soluciones de la ecuación original serán los puntos donde $f(x) = 0$ (las raíces de la función). En primer lugar, observamos que $f(x)$ es una función **continua** en todo $\mathbb{R}$, ya que es el resultado de sumas, productos y composiciones de funciones continuas (polinomios y funciones trigonométricas). 💡 **Tip:** Para aplicar el Teorema de Bolzano, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ que estemos considerando.

Aplicaremos el **Teorema de Bolzano**, el cual establece que si una función $f$ es continua en $[a, b]$ y el signo de $f(a)$ es distinto al de $f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. Para buscar una **solución negativa**, evaluamos la función en puntos negativos y en el cero: - Para $x = 0$: $$f(0) = 0 \cdot \cos(0) - 0^2 + 1 = 1 \gt 0$$ - Para $x = -2$: $$f(-2) = -2 \cdot \cos(-4) - (-2)^2 + 1 = -2 \cdot \cos(4) - 4 + 1 = -2 \cdot \cos(4) - 3$$ Como el valor del coseno siempre está entre $-1$ y $1$ ($-1 \le \cos(4) \le 1$), el valor de $-2\cos(4)$ estará entre $-2$ y $2$. Por tanto: $$f(-2) \le 2 - 3 = -1 \lt 0$$ Como $f(x)$ es continua en $[-2, 0]$ y $f(-2) \lt 0$ mientras que $f(0) \gt 0$, por el Teorema de Bolzano existe al menos un $c_1 \in (-2, 0)$, lo que garantiza una **solución negativa**. $$\boxed{\text{Existe } c_1 \in (-2, 0) \text{ tal que } f(c_1) = 0}$$

Para buscar una **solución positiva**, evaluamos en puntos a la derecha del cero: - Ya sabemos que $f(0) = 1 \gt 0$. - Probamos con $x = 1$ (recordando que el argumento del coseno está en radianes): $$f(1) = 1 \cdot \cos(2) - 1^2 + 1 = \cos(2)$$ Dado que $2$ radianes se encuentra en el segundo cuadrante (entre $\pi/2 \approx 1.57$ y $\pi \approx 3.14$), su coseno es negativo: $$\cos(2) \approx -0.416 \lt 0$$ Como $f(x)$ es continua en $[0, 1]$ y $f(0) \gt 0$ y $f(1) \lt 0$, por el Teorema de Bolzano existe al menos un $c_2 \in (0, 1)$, lo que garantiza una **solución positiva**. $$\boxed{\text{Existe } c_2 \in (0, 1) \text{ tal que } f(c_2) = 0}$$

**b) Aproximar la solución positiva encontrada con un error menor que una décima.** Partimos del intervalo $(0, 1)$ donde sabemos que está la solución positiva. Usaremos el método de bisección o tanteo para estrechar el intervalo hasta que su longitud sea menor que $0.1$. 1. Probamos con el punto medio $x = 0.5$: $$f(0.5) = 0.5 \cdot \cos(1) - 0.5^2 + 1 \approx 0.5 \cdot 0.5403 - 0.25 + 1 = 0.2701 + 0.75 = 1.0201 \gt 0$$ Como $f(0.5) \gt 0$ y $f(1) \lt 0$, la raíz está en $(0.5, 1)$. 2. Probamos con $x = 0.8$: $$f(0.8) = 0.8 \cdot \cos(1.6) - 0.8^2 + 1 \approx 0.8 \cdot (-0.0292) - 0.64 + 1 = -0.0233 + 0.36 = 0.3367 \gt 0$$ Como $f(0.8) \gt 0$ y $f(1) \lt 0$, la raíz está en $(0.8, 1)$. 3. Probamos con $x = 0.9$: $$f(0.9) = 0.9 \cdot \cos(1.8) - 0.9^2 + 1 \approx 0.9 \cdot (-0.2272) - 0.81 + 1 = -0.2045 + 0.19 = -0.0145 \lt 0$$ Como $f(0.8) \gt 0$ y $f(0.9) \lt 0$, la raíz está en el intervalo $(0.8, 0.9)$. La longitud de este intervalo es $0.9 - 0.8 = 0.1$. Cualquier valor dentro de este intervalo garantiza un error menor que una décima. Podemos tomar, por ejemplo, el punto medio o uno de los extremos si el valor de la función es muy cercano a cero. 💡 **Tip:** El error es menor que una décima si el intervalo donde se encuentra la raíz tiene una amplitud menor o igual a $0.1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \approx 0.9 \text{ (con error } \lt 0.1)}$$