Cálculo de un vector ortogonal con módulo específico

Para hallar un vector que sea ortogonal a dos vectores dados, $\vec{u}$ y $\vec{v}$, debemos calcular su **producto vectorial**. El resultado de este producto es un vector perpendicular al plano que forman ambos. Llamemos $\vec{w}'$ a dicho vector: $$\vec{w}' = \vec{u} \times \vec{v}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular tanto a $\vec{u}$ como a $\vec{v}$. Si el ejercicio pide un módulo específico, primero hallaremos este vector y luego lo escalaremos.

Calculamos el producto vectorial utilizando el determinante de las componentes en la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ y aplicando la regla de Sarrus: $$\vec{w}' = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{w}' = [\vec{i} \cdot 2 \cdot 1 + \vec{j} \cdot 0 \cdot (-1) + \vec{k} \cdot 1 \cdot 0] - [\vec{k} \cdot 2 \cdot (-1) + \vec{j} \cdot 1 \cdot 1 + \vec{i} \cdot 0 \cdot 0]$$ $$\vec{w}' = (2\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}) - (-2\vec{k} + \vec{j} + 0\vec{i})$$ $$\vec{w}' = 2\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$$ Por tanto, el vector ortogonal es: $$\vec{w}' = (2, -1, 2)$$

Calculamos el módulo de $\vec{w}' = (2, -1, 2)$: $$|\vec{w}'| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}$$ $$|\vec{w}'| = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ Como buscamos un vector de módulo 5, vemos que el vector actual tiene módulo 3. Debemos normalizarlo (hacerlo de módulo 1) y multiplicarlo por 5.

Para obtener un vector $\vec{w}$ de módulo 5, multiplicamos el vector $\vec{w}'$ por el cociente entre el módulo deseado y el módulo actual: $$\vec{w} = \pm \frac{5}{|\vec{w}'|} \cdot \vec{w}'$$ 💡 **Tip:** Existen siempre dos vectores opuestos que cumplen la condición de ser ortogonales a otros dos y tener un módulo concreto. Sustituimos los valores: $$\vec{w} = \pm \frac{5}{3} \cdot (2, -1, 2)$$ Calculamos las dos posibles soluciones: 1. $\vec{w}_1 = \left( \frac{10}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{10}{3} \right)$ 2. $\vec{w}_2 = \left( -\frac{10}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{10}{3} \right)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\vec{w} = \pm \left( \frac{10}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{10}{3} \right)}$$