Posición relativa de tres planos con parámetros

**3. Estudiar la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro $b$ (2 puntos)** Para estudiar la posición relativa de los tres planos, analizaremos el sistema de ecuaciones lineales formado por sus ecuaciones. Consideramos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1+b & -b \\ 1 & b & 1+b \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1+b & -b & 2b \\ 1 & b & 1+b & 1 \end{pmatrix}$$ El estudio se basará en comparar los rangos de ambas matrices aplicando el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es compatible determinado (punto común); si los rangos son iguales pero menores que 3, es compatible indeterminado (recta o plano común); y si son distintos, es incompatible (no hay punto común).

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus para hallar los valores críticos de $b$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1+b & -b \\ 1 & b & 1+b \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (1+b) \cdot (1+b) + 2 \cdot (-b) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot b] - [(-1) \cdot (1+b) \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot (1+b) + 1 \cdot (-b) \cdot b]$$ Desarrollamos cada parte: 1. Términos positivos: $(1+b)^2 - 2b - b = 1 + 2b + b^2 - 3b = b^2 - b + 1$ 2. Términos negativos: $-(1+b) + 2 + 2b - b^2 = -b^2 + b + 1$ Restamos: $$|A| = (b^2 - b + 1) - (-b^2 + b + 1) = b^2 - b + 1 + b^2 - b - 1 = 2b^2 - 2b$$ Igualamos a cero para encontrar los valores de discusión: $$2b^2 - 2b = 0 \implies 2b(b - 1) = 0 \implies \mathbf{b = 0, \, b = 1}$$ $$\boxed{|A| = 2b(b-1)}$$

Si $b \neq 0$ y $b \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. En este caso: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que el rango máximo es 3) - Número de incógnitas = 3 Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado**. Esto significa que los tres planos se cortan en un **único punto**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } b \neq 0, 1: \text{ Los tres planos se cortan en un punto (SCD)}}$$

Sustituimos $b = 0$ en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ usando el menor de las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 0 + 0) - (2 + 0 + 2) = 1 - 4 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. No hay puntos comunes a los tres planos. Analizamos si hay planos paralelos comparando sus vectores normales: - $\vec{n}_1 = (1, 2, -1)$ - $\vec{n}_2 = (1, 1, 0)$ - $\vec{n}_3 = (1, 0, 1)$ Ningún vector es proporcional a otro, por lo que no hay planos paralelos. Los planos se cortan dos a dos formando un **prisma triangular**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } b = 0: \text{ Sistema Incompatible. Los planos forman un prisma.}}$$

Sustituimos $b = 1$ en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que las filas 1 y 2 son idénticas en la matriz ampliada $A^*$. Esto implica que las ecuaciones de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ son la misma: $$\pi_1: x + 2y - z = 2$$ $$\pi_2: x + 2y - z = 2$$ Por tanto, los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ son **coincidentes**. Calculamos el rango: Un menor de orden 2 en $A$ (filas 2 y 3): $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como la fila 1 y 2 son iguales, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. Los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ coinciden, y el plano $\pi_3$ (cuyo vector normal $\vec{n}_3 = (1, 1, 2)$ no es proporcional al de los otros) los corta en una **recta**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } b = 1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado. } \pi_1 = \pi_2 \text{ y } \pi_3 \text{ los corta en una recta.}}$$