Determinante e inecuación cuadrática

Para resolver el ejercicio, primero calculamos el valor del determinante en función de $x$ utilizando la **regla de Sarrus**: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{vmatrix}$$ Calculamos los productos de la diagonal principal y sus paralelas: $1 \cdot x \cdot (-x) + 0 \cdot 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 \cdot 1 = -x^2 + 0 + 0 = -x^2$ Calculamos los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas: $(-1) \cdot x \cdot 4 + 0 \cdot 0 \cdot (-x) + 1 \cdot 3 \cdot 1 = -4x + 0 + 3 = -4x + 3$ Restamos ambos resultados: $$|A| = -x^2 - (-4x + 3) = -x^2 + 4x - 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para un determinante de orden 3, la regla de Sarrus suma los productos de la diagonal principal y resta los de la secundaria. $$\boxed{|A| = -x^2 + 4x - 3}$$

El enunciado nos pide determinar los valores de $x$ para los que el determinante es **mayor o igual que cero** ($|A| \ge 0$). Por tanto, debemos resolver la siguiente inecuación de segundo grado: $$-x^2 + 4x - 3 \ge 0$$ Para resolverla, primero hallamos las raíces de la ecuación cuadrática asociada: $$-x^2 + 4x - 3 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar el cálculo: $x^2 - 4x + 3 = 0$. Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}$$ Obtenemos los dos valores críticos: $$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ $$\boxed{x = 1, \quad x = 3}$$

Las raíces $x=1$ y $x=3$ dividen la recta real en tres intervalos. Evaluamos el signo de $P(x) = -x^2 + 4x - 3$ en cada uno de ellos: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & (1, 3) & (3, +\infty) \\\hline P(x) = -x^2 + 4x - 3 & - & + & - \end{array}$$ - Para $x=0 \in (-\infty, 1) \implies P(0) = -3 \lt 0$ - Para $x=2 \in (1, 3) \implies P(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \gt 0$ - Para $x=4 \in (3, +\infty) \implies P(4) = -(4)^2 + 4(4) - 3 = -16 + 16 - 3 = -3 \lt 0$ Como buscamos los valores donde el determinante es mayor o igual que cero ($P(x) \ge 0$), incluimos los extremos de los intervalos donde el polinomio es positivo o nulo. 💡 **Tip:** Al ser una parábola con el coeficiente de $x^2$ negativo ($a = -1 \lt 0$), tiene forma cóncava (hacia abajo), por lo que los valores positivos se encuentran entre sus raíces. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x \in [1, 3]}$$