Resolución de una ecuación matricial

**1. Encontrar la matriz $X$ que verifica $(A - 3I) \cdot X = 2I$, donde $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3. (2 puntos)** En primer lugar, definimos la matriz $B = A - 3I$ para simplificar la ecuación. Recordamos que $I$ es la matriz identidad de orden 3: $$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \implies 3I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $B$ restando término a término: $$B = A - 3I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al restar matrices, asegúrate de operar correctamente con los signos, especialmente en los elementos de la diagonal principal. $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

La ecuación original es $B \cdot X = 2I$. Para despejar $X$, si la matriz $B$ es invertible, multiplicamos por la izquierda por $B^{-1}$ en ambos miembros: $$B^{-1} \cdot (B \cdot X) = B^{-1} \cdot (2I)$$ $$(B^{-1} \cdot B) \cdot X = 2 \cdot (B^{-1} \cdot I)$$ $$I \cdot X = 2 \cdot B^{-1} \implies X = 2B^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Como $B$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe aparecer a la izquierda del término de la derecha.

Para comprobar si $B$ tiene inversa y poder calcularla, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|B| = [0 \cdot (-3) \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 0] - [1 \cdot (-3) \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot 0]$$ $$|B| = [0 + 0 + 0] - [-3 + 0 + 0] = 0 - (-3) = 3$$ Como $|B| = 3 \neq 0$, la matriz **$B$ es invertible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|B| = 3}$$

Calculamos $B^{-1}$ usando la fórmula $B^{-1} = \frac{1}{|B|} (\text{adj } B)^T$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $B$: $B_{11} = +\begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0; \quad B_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0; \quad B_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3$ $B_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0; \quad B_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1; \quad B_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $B_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 3; \quad B_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0; \quad B_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = 0$ La matriz adjunta es: $$\text{adj } B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \implies (\text{adj } B)^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Por tanto: $$B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1/3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = 2B^{-1}$ multiplicando cada elemento de la inversa por el escalar 2: $$X = 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1/3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2/3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar el resultado verificando que $(A-3I)X = 2I$. Si multiplicas $B \cdot X$ deberías obtener $\text{diag}(2, 2, 2)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2/3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$