Distribución Normal: Vida útil de relojes

**a) Calcular la probabilidad de que dure entre 9 y 12 años. (1 punto)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que representa la vida útil del reloj en años. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu=10, \sigma=2)$$ Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación**, para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 10}{2}$$ Nos piden calcular la probabilidad de que el reloj dure entre 9 y 12 años, es decir: $P(9 \le X \le 12)$. Al tipificar los valores: - Para $x = 9 \implies z_1 = \frac{9 - 10}{2} = -0.5$ - Para $x = 12 \implies z_2 = \frac{12 - 10}{2} = 1$ Por tanto, buscamos: $$P(-0.5 \le Z \le 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ que suelen proporcionarse en los exámenes.

Para resolver la probabilidad de un intervalo, aplicamos la propiedad: $$P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$$ En nuestro caso: $$P(-0.5 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -0.5)$$ Como la tabla de la normal estándar solo contiene valores positivos, aplicamos la simetría para el valor negativo: $$P(Z \le -0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$$ Sustituyendo en la expresión anterior: $$P(-0.5 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - [1 - P(Z \le 0.5)]$$ Consultamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1) = 0.8413$ - $P(Z \le 0.5) = 0.6915$ Operamos: $$P(-0.5 \le Z \le 1) = 0.8413 - (1 - 0.6915) = 0.8413 - 0.3085 = 0.5328$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(9 \le X \le 12) = 0.5328}$$

**b) ¿Cuánto tiempo tendrá que durar el reloj si queremos que el 90 % de los relojes de esa marca duren menos que el nuestro? (1 punto)** En este apartado conocemos la probabilidad (el área bajo la curva) y debemos encontrar el valor de la variable $X$. Buscamos un tiempo $k$ tal que la probabilidad de que un reloj dure menos de ese tiempo sea el $90\%$, es decir, $0.90$: $$P(X \lt k) = 0.90$$ Tipificamos la expresión: $$P\left(Z \lt \frac{k - 10}{2}\right) = 0.90$$ Llamemos $z_0 = \frac{k - 10}{2}$. Debemos buscar en el interior de la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$ el valor de $z_0$ cuya probabilidad acumulada sea lo más cercana posible a $0.90$. 💡 **Tip:** En la tabla, buscamos el valor más cercano a $0.9000$. Observamos que para $z = 1.28$ la probabilidad es $0.8997$ y para $z = 1.29$ es $0.9015$. Se suele tomar $z_0 = 1.28$ (o interpolar a $1.282$).

Utilizando el valor crítico $z_0 = 1.28$, igualamos y despejamos $k$: $$\frac{k - 10}{2} = 1.28$$ Despejamos la incógnita: $$k - 10 = 1.28 \cdot 2$$ $$k - 10 = 2.56$$ $$k = 10 + 2.56 = 12.56$$ (Nota: Si se usa el valor más preciso $z_0 = 1.2815$ o $1.282$, el resultado sería ligeramente superior, aproximadamente $12.564$ años). El reloj tendría que durar **12.56 años** para superar al $90\%$ de los relojes de la marca. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 12.56 \text{ años}}$$