Probabilidades en actividades de montaña

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información dada en una tabla de contingencia. Sean los sucesos: - $E$: El afiliado practica **escalada**. - $B$: El afiliado practica **barranquismo**. Los datos del enunciado son: - $P(E) = 0.70$ - $P(B) = 0.60$ - $P(E \cap B) = 0.45$ Completamos la tabla de contingencia para visualizar mejor las probabilidades de los sucesos compuestos y sus complementarios: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline E & 0.45 & 0.25 & 0.70 \\ \bar{E} & 0.15 & 0.15 & 0.30 \\ \hline \text{Total} & 0.60 & 0.40 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, las filas y columnas deben sumar sus totales respectivos. Por ejemplo, $P(E \cap B) + P(E \cap \bar{B}) = P(E)$.

**a) Calcular la probabilidad de que practique sólo una de las dos actividades. (0.75 puntos)** Practicar solo una actividad significa que practica escalada pero no barranquismo ($E \cap \bar{B}$), o practica barranquismo pero no escalada ($\bar{E} \cap B$). Calculamos ambas probabilidades individuales: - Solo escalada: $P(E \cap \bar{B}) = P(E) - P(E \cap B) = 0.70 - 0.45 = 0.25$. - Solo barranquismo: $P(\bar{E} \cap B) = P(B) - P(E \cap B) = 0.60 - 0.45 = 0.15$. La probabilidad de que practique **sólo una** es la suma de ambas: $$P(\text{Sólo una}) = P(E \cap \bar{B}) + P(\bar{E} \cap B)$$ $$P(\text{Sólo una}) = 0.25 + 0.15 = 0.40$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Sólo una}) = 0.40}$$ 💡 **Tip:** También se puede expresar como $P(E \cup B) - P(E \cap B)$.

**b) Calcular la probabilidad de que no practique ninguna. (0.5 puntos)** Este suceso es el complementario de la unión de ambos, es decir, el afiliado no hace ni escalada ni barranquismo ($\bar{E} \cap \bar{B}$). Primero calculamos la probabilidad de la unión (que practique al menos una): $$P(E \cup B) = P(E) + P(B) - P(E \cap B)$$ $$P(E \cup B) = 0.70 + 0.60 - 0.45 = 0.85$$ Ahora, la probabilidad de que no practique ninguna es: $$P(\bar{E} \cap \bar{B}) = 1 - P(E \cup B)$$ $$P(\bar{E} \cap \bar{B}) = 1 - 0.85 = 0.15$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Ninguna}) = 0.15}$$ 💡 **Tip:** Según las leyes de De Morgan, $P(\bar{E} \cap \bar{B}) = P(\overline{E \cup B})$.

**c) Sabiendo que hace barranquismo, calcular la probabilidad de que no haga escalada. (0.75 puntos)** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(\bar{E} | B)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(\bar{E} | B) = \frac{P(\bar{E} \cap B)}{P(B)}$$ Del paso 1 (o de la tabla de contingencia), sabemos que: - $P(\bar{E} \cap B) = 0.15$ - $P(B) = 0.60$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{E} | B) = \frac{0.15}{0.60} = \frac{1}{4} = 0.25$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{E} | B) = 0.25}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Siempre dividimos por la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido (la condición).