Área encerrada entre una función cúbica y una recta

Para hallar el área de la región encerrada por dos gráficas, el primer paso es determinar sus puntos de intersección. Estos puntos marcarán los límites de integración. Igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies x^3 - 3x^2 + 3x = x$$ Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: $$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 3x + 2) = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da las soluciones $x = 2$ y $x = 1$. Por lo tanto, los puntos de corte son: $$\boxed{x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2}$$ 💡 **Tip:** Al tener tres puntos de corte, la región encerrada está dividida en dos recintos: uno en el intervalo $[0, 1]$ y otro en el intervalo $[1, 2]$.

Para calcular el área, debemos saber qué función está por encima de la otra en cada intervalo para que la diferencia sea positiva, o bien utilizar el valor absoluto. Definimos la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$. - **En el intervalo $[0, 1]$:** Tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 0.5$. $$h(0.5) = (0.5)^3 - 3(0.5)^2 + 2(0.5) = 0.125 - 0.75 + 1 = 0.375 > 0$$ Como es positivo, $f(x) > g(x)$ en este intervalo. - **En el intervalo $[1, 2]$:** Tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 1.5$. $$h(1.5) = (1.5)^3 - 3(1.5)^2 + 2(1.5) = 3.375 - 6.75 + 3 = -0.375 < 0$$ Como es negativo, $g(x) > f(x)$ en este intervalo. El área total será la suma de las áreas de ambos recintos: $$A = \int_0^1 (f(x) - g(x)) \, dx + \int_1^2 (g(x) - f(x)) \, dx$$ $$A = \left| \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx \right| + \left| \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx \right|$$

Calculamos la integral definida para el primer recinto aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} \right]_0^1 = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_0^1$$ Sustituimos los límites: $$A_1 = \left( \frac{1^4}{4} - 1^3 + 1^2 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - 0^3 + 0^2 \right)$$ $$A_1 = \left( \frac{1}{4} - 1 + 1 \right) - 0 = \frac{1}{4} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Calculamos la integral para el segundo recinto. Como sabemos que en este tramo la función diferencia es negativa, tomamos el valor absoluto: $$A_2 = \left| \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_1^2 \right|$$ Sustituimos los límites: $$A_2 = \left| \left( \frac{2^4}{4} - 2^3 + 2^2 \right) - \left( \frac{1^4}{4} - 1^3 + 1^2 \right) \right|$$ $$A_2 = \left| (4 - 8 + 4) - \left( \frac{1}{4} - 1 + 1 \right) \right|$$ $$A_2 = \left| 0 - \frac{1}{4} \right| = \frac{1}{4} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado parcial:** $$A_2 = \frac{1}{4} \text{ u}^2$$

Sumamos las áreas de las dos regiones obtenidas: $$A_{\text{total}} = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ La región encerrada tiene un área de $0.5$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{1}{2} \text{ u}^2}$$ Para visualizar la región, observa la siguiente representación: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x) = x", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg1", "latex": "x \\le y \\le f(x) \\{0 \\le x \\le 1\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "f(x) \\le y \\le x \\{1 \\le x \\le 2\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 2.5, "bottom": -0.5, "top": 2.5 } } }