Cálculo de una primitiva con condición inicial

Para hallar la primitiva $F(x)$ de la función $f(x)$, debemos calcular la integral indefinida de la función dada: $$F(x) = \int f(x) \, dx = \int (x+1)e^{x+1} \, dx$$ Esta integral presenta un producto de un polinomio de primer grado por una función exponencial, lo que sugiere el uso del método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Elegimos las partes de la siguiente manera: - $u = x + 1 \implies du = dx$ - $dv = e^{x+1} \, dx \implies v = \int e^{x+1} \, dx = e^{x+1}$ Sustituimos en la fórmula: $$F(x) = (x+1)e^{x+1} - \int e^{x+1} \, dx$$ Calculamos la integral restante: $$F(x) = (x+1)e^{x+1} - e^{x+1} + C$$ Simplificamos la expresión factorizando $e^{x+1}$: $$F(x) = e^{x+1} \left( (x+1) - 1 \right) + C = xe^{x+1} + C$$ $$\boxed{F(x) = xe^{x+1} + C}$$

El enunciado nos impone la condición inicial **$F(0) = -1$**. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión de la primitiva e igualamos al valor dado: $$F(0) = 0 \cdot e^{0+1} + C = -1$$ $$0 \cdot e + C = -1$$ $$C = -1$$ 💡 **Tip:** La constante $C$ es lo que define a una familia de primitivas. La condición inicial nos permite seleccionar la única curva de esa familia que pasa por el punto $(0, -1)$.

Una vez hallado el valor de $C = -1$, lo sustituimos en la expresión general de $F(x)$ para obtener la primitiva específica pedida: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = xe^{x+1} - 1}$$