Continuidad y parámetros en funciones a trozos

Para que la gráfica de la función pase por el punto $(-1, 5)$, se debe cumplir que $f(-1) = 5$. Observamos en la definición de la función a trozos que el valor $x = -1$ pertenece al primer intervalo ($x \le 1$). Por tanto, sustituimos en la primera rama: $$f(-1) = 2(-1)^2 + a(-1) + b = 2 - a + b$$ Igualamos a la ordenada del punto: $$2 - a + b = 5 \implies -a + b = 3$$ 💡 **Tip:** Siempre identifica en qué rama de la función a trozos cae el valor de $x$ antes de sustituir. $$\boxed{-a + b = 3}$$

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$ Calculamos cada valor: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$) y valor de la función:** Usamos la rama $2x^2 + ax + b$. $$\lim_{x \to 1^-} (2x^2 + ax + b) = 2(1)^2 + a(1) + b = 2 + a + b$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** Usamos la rama $\ln(x)$. $$\lim_{x \to 1^+} \ln(x) = \ln(1) = 0$$ Igualamos ambos resultados para asegurar que no haya un salto entre ramas: $$2 + a + b = 0 \implies a + b = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(1) = 0$ y que para la continuidad en funciones a trozos, el "pegado" de las ramas debe ser perfecto. $$\boxed{a + b = -2}$$

Ahora disponemos de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ($a$ y $b$): $$\begin{cases} -a + b = 3 \\ a + b = -2 \end{cases}$$ Podemos resolverlo por el método de reducción sumando ambas ecuaciones: $$(-a + a) + (b + b) = 3 + (-2)$$ $$2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}$$ Sustituimos el valor de $b$ en la segunda ecuación para hallar $a$: $$a + \frac{1}{2} = -2 \implies a = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$$ Por tanto, los valores buscados son **$a = -2.5$** y **$b = 0.5$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -\frac{5}{2}, \quad b = \frac{1}{2}}$$