Cálculo de coeficientes de un polinomio con condiciones de extremos e inflexión

Para resolver el ejercicio, primero calculamos las derivadas del polinomio $p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3$: $$p'(x) = b + 2cx + 3dx^2$$ $$p''(x) = 2c + 6dx$$ La condición de que la gráfica tiene un **punto de inflexión en $(0, 0)$** nos da dos datos fundamentales: 1. El punto $(0,0)$ pertenece a la curva: $p(0) = 0$. 2. En un punto de inflexión, la segunda derivada se anula: $p''(0) = 0$. Aplicamos estas condiciones: - $p(0) = a + b(0) + c(0)^2 + d(0)^3 = 0 \implies \mathbf{a = 0}$ - $p''(0) = 2c + 6d(0) = 0 \implies 2c = 0 \implies \mathbf{c = 0}$ 💡 **Tip:** Un punto $(x_0, y_0)$ es un punto de inflexión si $p''(x_0) = 0$ (y hay cambio de curvatura). Además, al darnos las coordenadas completas $(0,0)$, sabemos que la función pasa por el origen. $$\boxed{a = 0, \quad c = 0}$$

Se nos indica que $p(x)$ tiene un **máximo relativo en $x = -1$**. Para que exista un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto, la primera derivada en ese punto debe ser igual a cero: $$p'(-1) = 0$$ Sustituimos $x = -1$ en la expresión de $p'(x)$, teniendo en cuenta que ya sabemos que $c = 0$: $$p'(x) = b + 3dx^2$$ $$p'(-1) = b + 3d(-1)^2 = b + 3d = 0$$ De aquí obtenemos nuestra primera ecuación con las incógnitas restantes: $$b + 3d = 0 \implies b = -3d$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición necesaria para un extremo relativo en funciones derivables es que $f'(x_0) = 0$.

La tercera condición dice que la **recta tangente en $x = 2$ tiene pendiente 3**. La pendiente de la recta tangente a una función en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto. Por tanto: $$p'(2) = 3$$ Sustituimos $x = 2$ en $p'(x) = b + 3dx^2$: $$p'(2) = b + 3d(2)^2 = b + 12d = 3$$ Ya tenemos la segunda ecuación para el sistema: $$b + 12d = 3$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente $m$ en $x = a$ es siempre $m = f'(a)$.

Ahora resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: $$\begin{cases} b + 3d = 0 \\ b + 12d = 3 \end{cases}$$ Podemos usar el método de sustitución, despejando $b$ de la primera ecuación: $b = -3d$. Sustituimos en la segunda: $$-3d + 12d = 3$$ $$9d = 3 \implies d = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ Ahora calculamos $b$: $$b = -3 \left( \frac{1}{3} \right) = -1$$ ✅ **Resultados de los coeficientes:** $$\boxed{a = 0, \quad b = -1, \quad c = 0, \quad d = \frac{1}{3}}$$

Sustituyendo los valores hallados, el polinomio es: $$p(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$$ Podemos verificar rápidamente: - $p(0)=0$ y $p''(0)=0$ (Punto de inflexión en $(0,0)$). - $p'(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$ y $p''(-1) = 2(-1) = -2 \lt 0$ (Efectivamente es un máximo). - $p'(2) = (2)^2 - 1 = 3$ (Pendiente 3 en $x=2$). ✅ **Solución final:** $$\boxed{a=0, \, b=-1, \, c=0, \, d=1/3}$$