Geometría en el espacio: planos y distancias

**a) Hallar el plano que contiene a $r$ y es paralelo al vector $\overrightarrow{AB}$. (1.25 puntos)** Primero, obtenemos un punto y el vector director de la recta $r$. La recta viene dada por las ecuaciones implícitas: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = z \end{cases}$$ Podemos escribirla en forma paramétrica haciendo $z = \lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \implies \begin{cases} P_r = (1, 0, 0) \\ \vec{v}_r = (0, 1, 1) \end{cases}$$ Calculamos el vector $\overrightarrow{AB}$ restando las coordenadas de los puntos $B$ y $A$: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 2) = (1, 1, -2).$$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables que sea libre.

Buscamos un plano $\pi$ que contenga a $r$ y sea paralelo a $\overrightarrow{AB}$. Esto significa que el plano tendrá como vectores directores a $\vec{v}_r$ y a $\overrightarrow{AB}$. El vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$, se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(-2 - 1) - \vec{j}(0 - 1) + \vec{k}(0 - 1) = -3\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k} = (-3, 1, -1).$$ 💡 **Tip:** El vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ es perpendicular a cualquier vector contenido o paralelo al plano.

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Con el vector normal $(-3, 1, -1)$ tenemos: $$-3x + y - z + D = 0$$ Como el plano contiene a la recta $r$, debe contener al punto $P_r = (1, 0, 0)$. Sustituimos este punto para hallar $D$: $$-3(1) + 0 - 0 + D = 0 \implies -3 + D = 0 \implies D = 3.$$ La ecuación del plano es $-3x + y - z + 3 = 0$, que podemos multiplicar por $-1$ para mayor comodidad: ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x - y + z - 3 = 0}$$

**b) Hallar la distancia del punto $A$ a la recta $r$. (0.75 puntos)** Utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto $A$ a una recta $r$ basada en el producto vectorial: $$d(A, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \overrightarrow{P_rA}|}{|\vec{v}_r|}$$ Ya conocemos $\vec{v}_r = (0, 1, 1)$ y $P_r = (1, 0, 0)$. Calculamos el vector $\overrightarrow{P_rA}$: $$\overrightarrow{P_rA} = A - P_r = (0 - 1, 0 - 0, 2 - 0) = (-1, 0, 2).$$ 💡 **Tip:** Esta fórmula representa la altura de un paralelogramo dividido por su base, lo que nos da la distancia perpendicular.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \overrightarrow{P_rA}$: $$\vec{v}_r \times \overrightarrow{P_rA} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2-0) - \vec{j}(0 - (-1)) + \vec{k}(0 - (-1)) = (2, -1, 1).$$ Ahora calculamos los módulos necesarios: - Módulo del producto vectorial: $$|\vec{v}_r \times \overrightarrow{P_rA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.$$ - Módulo del vector director de la recta: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}.$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con los signos al resolver el determinante, especialmente con el término en $\vec{j}$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de la distancia: $$d(A, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} \text{ unidades.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, r) = \sqrt{3} \approx 1,732 \text{ u.l.}}$$