Dependencia lineal, áreas y vectores perpendiculares

**a) ¿Son $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ linealmente independientes? (0.5 puntos)** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente independientes si el determinante de la matriz que forman es distinto de cero. Colocamos los vectores en las filas de una matriz $M$: $$M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna. En este caso, desarrollamos por la primera fila ya que tiene dos ceros: $$|M| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|M| = 2 \cdot [ (1 \cdot (-1)) - (1 \cdot 2) ] = 2 \cdot (-1 - 2) = 2 \cdot (-3) = -6$$ Como $|M| = -6 \neq 0$, el rango de la matriz es 3. 💡 **Tip:** Si el determinante de $n$ vectores de dimensión $n$ es distinto de cero, los vectores son linealmente independientes y forman una base de $\mathbb{R}^n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los vectores } \vec{u}, \vec{v} \text{ y } \vec{w} \text{ son linealmente independientes}}$$

**b) Calcular el área del triángulo formado por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. (0.75 puntos)** El área del triángulo formado por dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ viene dada por la mitad del módulo de su producto vectorial: $$Area = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$$ Primero, calculamos el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ mediante el determinante con los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{u} \times \vec{v} = (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1)\vec{i} - (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1)\vec{j} + (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\vec{k}$$ $$\vec{u} \times \vec{v} = -2\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k} = (-2, 2, 0)$$ Ahora calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ Finalmente, el área es: $$Area = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que forman. Por eso, para el triángulo, dividimos entre dos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = \sqrt{2} \approx 1.414 \text{ u}^2}$$

**c) Calcular un vector de módulo uno perpendicular a los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$. (0.75 puntos)** Para obtener un vector perpendicular a otros dos, realizamos su producto vectorial. Sea $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{w}$: $$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = [ (1 \cdot 1) - (0 \cdot (-1)) ]\vec{i} - [ (1 \cdot 1) - (0 \cdot 2) ]\vec{j} + [ (1 \cdot (-1)) - (1 \cdot 2) ]\vec{k}$$ $$\vec{n} = 1\vec{i} - 1\vec{j} - 3\vec{k} = (1, -1, -3)$$ Para que el vector sea de módulo uno (unitario), debemos dividir el vector $\vec{n}$ por su módulo: $$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$$ El vector unitario $\vec{z}$ será: $$\vec{z} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{11}} (1, -1, -3) = \pm \left( \frac{1}{\sqrt{11}}, -\frac{1}{\sqrt{11}}, -\frac{3}{\sqrt{11}} \right)$$ 💡 **Tip:** Existen siempre dos vectores unitarios perpendiculares a otros dos (uno en cada sentido). Basta con indicar uno de ellos. ✅ **Resultado (uno de los posibles):** $$\boxed{\vec{z} = \left( \frac{\sqrt{11}}{11}, -\frac{\sqrt{11}}{11}, -\frac{3\sqrt{11}}{11} \right)}$$

A continuación se muestra una representación de los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y el vector resultante del producto vectorial del apartado b).