Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**2. Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$ (1.5 puntos)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2a-1 \\ 2 & 1 & a & a \\ 1 & a & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot a \cdot 1) + (2 \cdot a \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot a \cdot 1) - (2 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = 1 + a + 2a - (1 + a^2 + 2) = 1 + 3a - a^2 - 3 = -a^2 + 3a - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para discutir un sistema, el primer paso suele ser hallar los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes, ya que estos marcan los cambios en el rango de $A$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos del parámetro $a$: $$-a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a^2 - 3a + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos valores: **$a = 1$** y **$a = 2$**. Analizaremos el sistema según estos valores utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Si $a \neq 1$ y $a \neq 2$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que es el rango máximo posible y $A \subset A^*$) - $n = 3$ (número de incógnitas) Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n = 3$, por el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD).}}$$

Si $a = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 2 + 12) - (3 + 4 + 2) = 15 - 9 = 6 \neq 0$$ Como el determinante es $6 \neq 0$, el $\text{rango}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ el sistema es Incompatible (SI).}}$$

Si $a = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$). Esto implica que el rango será menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Al ser $F_1 = F_3$ en la matriz ampliada, cualquier menor de orden 3 que contenga estas filas será cero. Por tanto, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI).}}$$

**Resolver el sistema en el caso $a = 1$. (0.5 puntos)** Como hemos visto, para $a = 1$ el sistema es Compatible Indeterminado. Las ecuaciones quedan: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$ La tercera ecuación es igual a la primera, por lo que podemos prescindir de ella. Resolvemos el sistema formado por las dos primeras: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \quad (1) \\ 2x + y + z = 1 \quad (2) \end{cases}$$ Restamos la ecuación (1) a la (2) ($L_2 - L_1 \to L_2$): $$(2x - x) + (y - y) + (z - z) = 1 - 1 \implies x = 0$$ Sustituimos $x = 0$ en la ecuación (1): $$0 + y + z = 1 \implies y = 1 - z$$ Tomamos $z$ como parámetro libre: **$z = \lambda$**, con $\lambda \in \mathbb{R}$. Las soluciones son: $$\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (0, 1-\lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En un sistema SCI con rango 2 y 3 incógnitas, la solución siempre dependerá de $3-2=1$ parámetro.