Estudio del rango de una matriz con parámetros

**1. Estudiar el rango de la matriz $A - \lambda \cdot I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3. (2 puntos)** En primer lugar, planteamos la matriz $M = A - \lambda I$, restando $\lambda$ a los elementos de la diagonal principal de $A$: $$M = A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 2 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ -1 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que restar $\lambda I$ a una matriz $A$ solo afecta a los elementos $a_{ii}$ de la diagonal, ya que el resto de elementos de $\lambda I$ son cero.

Para estudiar el rango, calculamos el determinante de la matriz resultante $|M|$. Dado que la segunda columna tiene dos ceros, desarrollamos por los elementos de dicha columna: $$|M| = \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & 2 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ -1 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix}$$ Aplicando el desarrollo por la segunda columna ($C_2$): $$|M| = (-\lambda) \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ -1 & 3-\lambda \end{vmatrix}$$ $$|M| = -\lambda \cdot [-\lambda(3 - \lambda) - (2 \cdot (-1))]$$ $$|M| = -\lambda \cdot [\lambda^2 - 3\lambda + 2]$$ 💡 **Tip:** Desarrollar por una fila o columna con muchos ceros simplifica enormemente el cálculo del determinante. $$\boxed{|M| = -\lambda(\lambda^2 - 3\lambda + 2)}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$-\lambda(\lambda^2 - 3\lambda + 2) = 0$$ Esto nos da dos partes: 1) $\lambda_1 = 0$ 2) $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos: $$\lambda_2 = \frac{4}{2} = 2, \quad \lambda_3 = \frac{2}{2} = 1$$ Los valores que anulan el determinante son **$\lambda = 0$**, **$\lambda = 1$** y **$\lambda = 2$**.

**Caso 1: $\lambda \neq 0, \lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2$** Si el parámetro toma cualquier valor distinto de 0, 1 o 2, el determinante de la matriz es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Como la matriz es de orden $3 \times 3$ y su determinante es no nulo, el rango es máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}, \text{ rg}(A - \lambda I) = 3}$$

Analizamos qué ocurre con el rango cuando el determinante es cero: **Caso 2: $\lambda = 0$** La matriz es $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - (-1) = 4 \neq 0$$ Por tanto, **rg$(A-0I) = 2$**. **Caso 3: $\lambda = 1$** La matriz es $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Observamos que la fila 1 y la fila 3 son iguales ($F_1 = F_3$). Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \neq 0$$ Por tanto, **rg$(A-1I) = 2$**. **Caso 4: $\lambda = 2$** La matriz es $M = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Observamos que $F_1 = 2 \cdot F_3$. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 0 = 4 \neq 0$$ Por tanto, **rg$(A-2I) = 2$**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que se pueda extraer de ella.

Resumiendo el estudio realizado según los valores del parámetro $\lambda$: - Si **$\lambda \neq 0, 1, 2$**, el rango de la matriz es **3**. - Si **$\lambda = 0$**, **$\lambda = 1$** o **$\lambda = 2$**, el rango de la matriz es **2**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{rg}(A-\lambda I) = \begin{cases} 3 & \text{si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\} \\ 2 & \text{si } \lambda \in \{0, 1, 2\} \end{cases}}$$