Optimización del área de un trapecio isósceles

**a) Exprese la altura del trapecio en función de la longitud $x$ de la base inferior.** En un trapecio isósceles, si proyectamos la base superior ($x$) sobre la base inferior ($3x$), la diferencia de longitudes se reparte equitativamente a ambos lados. La longitud de cada uno de esos segmentos laterales en la base mayor será: $$d = \frac{3x - x}{2} = \frac{2x}{2} = x$$ Ahora, observamos el triángulo rectángulo formado por la altura ($h$), el segmento lateral ($x$) y el lado oblicuo ($10$ mm). Aplicamos el **Teorema de Pitágoras**: $$h^2 + x^2 = 10^2$$ $$h^2 = 100 - x^2$$ $$h(x) = \sqrt{100 - x^2}$$ Como la altura debe ser positiva y el radicando también, el dominio físico de $x$ es $0 < x < 10$. 💡 **Tip:** Recuerda que en un trapecio isósceles, al trazar las dos alturas desde la base menor, el rectángulo central tiene base $x$ y los dos triángulos rectángulos laterales tienen base $(B-b)/2$. ✅ **Resultado (altura):** $$\boxed{h(x) = \sqrt{100 - x^2}}$$

**b) Calcule la longitud de la base inferior del trapecio de manera que el área de la pieza sea máxima y encuentre el valor de esta área máxima.** La fórmula del área de un trapecio es $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$. En nuestro caso: - Base mayor ($B$) = $3x$ - Base menor ($b$) = $x$ - Altura ($h$) = $\sqrt{100 - x^2}$ Sustituimos en la fórmula para obtener la función área $A(x)$: $$A(x) = \frac{(3x + x) \cdot \sqrt{100 - x^2}}{2} = \frac{4x \sqrt{100 - x^2}}{2} = 2x \sqrt{100 - x^2}$$ Para facilitar la derivación, podemos introducir el factor $x$ dentro de la raíz ($x = \sqrt{x^2}$): $$A(x) = 2\sqrt{x^2(100 - x^2)} = 2\sqrt{100x^2 - x^4}$$ 💡 **Tip:** Maximizar $A(x)$ es equivalente a maximizar el radicando $f(x) = 100x^2 - x^4$ siempre que $A(x) > 0$. Esto suele simplificar mucho los cálculos de las derivadas.

Calculamos la derivada de $A(x) = 2x \sqrt{100 - x^2}$ usando la regla del producto: $$A'(x) = 2 \cdot \sqrt{100 - x^2} + 2x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}}$$ $$A'(x) = 2\sqrt{100 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{100 - x^2}}$$ Para sumar los términos, ponemos común denominador: $$A'(x) = \frac{2(100 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{200 - 2x^2 - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{200 - 4x^2}{\sqrt{100 - x^2}}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $A'(x) = 0$: $$200 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 200 \implies x^2 = 50$$ $$x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ mm}$$ Descartamos la solución negativa $x = -5\sqrt{2}$ por tratarse de una longitud.

Estudiamos el signo de $A'(x)$ alrededor de $x = 5\sqrt{2} \approx 7,07$ para confirmar que es un máximo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 5\sqrt{2}) & 5\sqrt{2} & (5\sqrt{2}, 10)\\\hline A'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ - Si $x < 5\sqrt{2}$, por ejemplo $x=1$, $A'(1) = \frac{196}{\sqrt{99}} > 0$ (creciente). - Si $x > 5\sqrt{2}$, por ejemplo $x=9$, $A'(9) = \frac{200-324}{\sqrt{19}} < 0$ (decreciente). Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = 5\sqrt{2}$, existe un **máximo relativo** en ese punto. 💡 **Tip:** Al ser un problema de optimización en un intervalo abierto $(0,10)$ y tener un único extremo relativo que es máximo, este es automáticamente el máximo absoluto.

Finalmente, calculamos el valor del área máxima sustituyendo $x = 5\sqrt{2}$ en $A(x)$: $$A(5\sqrt{2}) = 2(5\sqrt{2}) \sqrt{100 - (5\sqrt{2})^2}$$ $$A(5\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \sqrt{100 - 50} = 10\sqrt{2} \sqrt{50}$$ Como $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$: $$A(5\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 50 \cdot (\sqrt{2})^2 = 50 \cdot 2 = 100 \text{ mm}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 5\sqrt{2} \text{ mm} \approx 7,07 \text{ mm}, \quad \text{Área máxima} = 100 \text{ mm}^2}$$