Recta perpendicular común y distancia entre rectas

**a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente las rectas $r_1$ y $r_2$.** Primero, obtenemos un punto y un vector director de cada una de las rectas dadas. Para la recta $r_1: x - 1 = y = -z$, que podemos escribir como $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{-1}$: - Punto $P_1(1, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_1 = (1, 1, -1)$ Para la recta $r_2: x = y = z$, que es $\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1}$: - Punto $P_2(0, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_2 = (1, 1, 1)$ 💡 **Tip:** Para extraer el vector director de una recta en forma continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, simplemente tomamos los denominadores $(a, b, c)$ asegurándonos de que $x, y, z$ tengan coeficiente $1$.

La recta que corta perpendicularmente a $r_1$ y $r_2$ (llamada perpendicular común) pasará por un punto $R_1 \in r_1$ y un punto $R_2 \in r_2$ tales que el vector $\vec{R_1R_2}$ sea perpendicular a ambos vectores directores, $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$. Expresamos los puntos genéricos en función de sus parámetros: De $r_1$ (usando $\lambda$): $$R_1(1+\lambda, \lambda, -\lambda)$$ De $r_2$ (usando $\mu$): $$R_2(\mu, \mu, \mu)$$ El vector que une ambos puntos es: $$\vec{R_1R_2} = R_2 - R_1 = (\mu - (1+\lambda), \mu - \lambda, \mu - (-\lambda)) = (\mu - \lambda - 1, \mu - \lambda, \mu + \lambda)$$

Para que la recta sea perpendicular a $r_1$ y $r_2$, el vector $\vec{R_1R_2}$ debe cumplir que su producto escalar con los vectores directores sea cero: 1. $\vec{R_1R_2} \cdot \vec{v}_1 = 0$: $$(\mu - \lambda - 1) \cdot 1 + (\mu - \lambda) \cdot 1 + (\mu + \lambda) \cdot (-1) = 0$$ $$\mu - \lambda - 1 + \mu - \lambda - \mu - \lambda = 0 \implies \mu - 3\lambda = 1$$ 2. $\vec{R_1R_2} \cdot \vec{v}_2 = 0$: $$(\mu - \lambda - 1) \cdot 1 + (\mu - \lambda) \cdot 1 + (\mu + \lambda) \cdot 1 = 0$$ $$\mu - \lambda - 1 + \mu - \lambda + \mu + \lambda = 0 \implies 3\mu - \lambda = 1$$ Resolvemos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} \mu - 3\lambda = 1 \\ 3\mu - \lambda = 1 \end{cases}$$ De la primera, $\mu = 1 + 3\lambda$. Sustituimos en la segunda: $$3(1 + 3\lambda) - \lambda = 1 \implies 3 + 9\lambda - \lambda = 1 \implies 8\lambda = -2 \implies \lambda = -\frac{1}{4}$$ Sustituyendo $\lambda$: $$\mu = 1 + 3\left(-\frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ Los parámetros son **$\lambda = -1/4$** y **$\mu = 1/4$**.

Sustituimos los parámetros para hallar los puntos específicos $R_1$ y $R_2$: $R_1(1 - 1/4, -1/4, 1/4) = \left(\dfrac{3}{4}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}\right)$ $R_2(1/4, 1/4, 1/4) = \left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}\right)$ El vector director de la perpendicular común será: $$\vec{v}_p = \vec{R_1R_2} = \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}, \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right), \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) = \left(-\frac{2}{4}, \frac{2}{4}, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$$ Podemos simplificar el vector director multiplicando por $-2$ para obtener $\vec{d} = (1, -1, 0)$. 💡 **Tip:** También podrías haber obtenido la dirección de la perpendicular común mediante el producto vectorial $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$: $$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 - (-1)) - \mathbf{j}(1 - (-1)) + \mathbf{k}(1 - 1) = (2, -2, 0)$$ Que es proporcional a nuestro vector $(1, -1, 0)$.

Usamos el punto $R_2\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ y el vector director $(1, -1, 0)$: $$\begin{cases} x = \frac{1}{4} + t \\ y = \frac{1}{4} - t \\ z = \frac{1}{4} \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s: \begin{cases} x = \frac{1}{4} + t \\ y = \frac{1}{4} - t \\ z = \frac{1}{4} \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}}$$

**b) Calcule la distancia entre $r_1$ y $r_2$.** La distancia mínima entre dos rectas que se cruzan es la distancia entre los dos puntos donde la perpendicular común las corta ($R_1$ y $R_2$). Calculamos el módulo del vector $\vec{R_1R_2} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$: $$d(r_1, r_2) = |\vec{R_1R_2}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2}$$ $$d(r_1, r_2) = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r_1, r_2) = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Otra forma de calcularlo es mediante la fórmula $d(r_1, r_2) = \dfrac{|[\vec{P_1P_2}, \vec{v}_1, \vec{v}_2]|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$, donde el numerador es el valor absoluto del producto mixto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r_1, r_2) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 \text{ u}}$$