Teorema de Bolzano y área entre curvas

**a) Justifique que $f(x) = 2$ tiene una solución en el intervalo $(-1, 0)$.** Para demostrar que existe una solución a la ecuación $f(x) = 2$, definimos una función auxiliar $g(x)$ trasladando todos los términos a un lado de la igualdad: $$g(x) = f(x) - 2 = -3x + e^{2x^3-1} - 2$$ El objetivo es aplicar el **Teorema de Bolzano** a $g(x)$ en el intervalo $[-1, 0]$. Primero, debemos justificar la continuidad: 1. El término $-3x - 2$ es una función polinómica, continua en $\mathbb{R}$. 2. El término $e^{2x^3-1}$ es una composición de una función exponencial y una polinómica, ambas continuas en $\mathbb{R}$. Por tanto, $g(x)$ es **continua** en el intervalo cerrado $[-1, 0]$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano establece que si una función $g$ es continua en $[a, b]$ y el signo de $g(a)$ es distinto al de $g(b)$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$.

Calculamos el valor de la función en los extremos del intervalo $(-1, 0)$: Para $x = -1$: $$g(-1) = -3(-1) + e^{2(-1)^3-1} - 2 = 3 + e^{-3} - 2 = 1 + \frac{1}{e^3}$$ Como $e^3 \approx 20.08$, entonces $1 + \frac{1}{e^3} \gt 0$. Por tanto, **$g(-1) \gt 0$**. Para $x = 0$: $$g(0) = -3(0) + e^{2(0)^3-1} - 2 = 0 + e^{-1} - 2 = \frac{1}{e} - 2$$ Como $e \approx 2.718$, entonces $\frac{1}{e} \approx 0.368$. Así, $0.368 - 2 \lt 0$. Por tanto, **$g(0) \lt 0$**. Como $g(x)$ es continua en $[-1, 0]$ y $g(-1) \cdot g(0) \lt 0$, por el **Teorema de Bolzano** existe al menos un valor $c \in (-1, 0)$ tal que $g(c) = 0$. Esto implica que: $$f(c) - 2 = 0 \implies f(c) = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Queda justificada la existencia de la solución en } (-1, 0).}$$

**b) Sea la función $h(x) = -3x^2 + e^{2x^3-1}$. Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x)$ y $h(x)$.** Para hallar el área entre dos curvas, primero debemos encontrar sus puntos de intersección igualando ambas funciones: $$f(x) = h(x) \implies -3x + e^{2x^3-1} = -3x^2 + e^{2x^3-1}$$ Restamos el término exponencial en ambos lados: $$-3x = -3x^2$$ $$3x^2 - 3x = 0$$ $$3x(x - 1) = 0$$ Las soluciones son: - $3x = 0 \implies x = 0$ - $x - 1 = 0 \implies x = 1$ Los límites de integración para el área serán **$x = 0$** y **$x = 1$**. 💡 **Tip:** Al restar las funciones, los términos complejos que se repiten suelen simplificarse, facilitando enormemente la integración posterior.

El área $A$ viene dada por la integral definida del valor absoluto de la diferencia de las funciones entre los puntos de corte: $$A = \int_{0}^{1} |f(x) - h(x)| \, dx$$ Calculamos la diferencia $f(x) - h(x)$: $$f(x) - h(x) = (-3x + e^{2x^3-1}) - (-3x^2 + e^{2x^3-1}) = 3x^2 - 3x$$ Evaluamos el signo de esta diferencia en el intervalo $(0, 1)$. Por ejemplo, para $x = 0.5$: $$3(0.5)^2 - 3(0.5) = 0.75 - 1.5 = -0.75 \lt 0$$ Como la diferencia es negativa, el área será: $$A = \int_{0}^{1} (h(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (3x - 3x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser positiva. Si al integrar obtienes un valor negativo, simplemente toma su valor absoluto.

Calculamos la integral definida aplicando la **Regla de Barrow**: 1. Hallamos la primitiva: $$\int (3x - 3x^2) \, dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{3x^3}{3} = \frac{3}{2}x^2 - x^3$$ 2. Evaluamos en los límites $x=0$ y $x=1$: $$A = \left[ \frac{3}{2}x^2 - x^3 \right]_{0}^{1} = \left( \frac{3}{2}(1)^2 - (1)^3 \right) - \left( \frac{3}{2}(0)^2 - (0)^3 \right)$$ $$A = \left( \frac{3}{2} - 1 \right) - 0 = \frac{1}{2} = 0.5$$ El área de la región es de **$0.5$** unidades cuadradas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 0.5 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = -3x + e^{2x^3-1}", "color": "#2563eb" }, { "id": "h", "latex": "h(x) = -3x^2 + e^{2x^3-1}", "color": "#ef4444" }, { "id": "area", "latex": "-3x^2 + e^{2x^3-1} \\ge y \\ge -3x + e^{2x^3-1} \\{0 \\le x \\le 1\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 1.5, "bottom": -1.5, "top": 3 } } }