Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discuta el sistema según los valores del parámetro $m$.** Primero, reordenamos las ecuaciones para que las variables $x, y, z$ estén en el lado izquierdo y los términos independientes en el derecho: $$\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + my + z = 2 \\ -3x - y + mz = -3 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1 \\ -3 & -1 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & m & 1 & 2 \\ -3 & -1 & m & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El primer paso fundamental en cualquier discusión de sistemas es organizar las variables por columnas y los términos independientes a la derecha del igual.

Para discutir el rango de la matriz $A$, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1 \\ -3 & -1 & m \end{vmatrix} = [2(m)(m) + 1(1)(-3) + (-1)(1)(-1)] - [(-3)(m)(-1) + (-1)(1)(2) + (m)(1)(1)]$$ $$|A| = (2m^2 - 3 + 1) - (3m - 2 + m)$$ $$|A| = 2m^2 - 2 - (4m - 2) = 2m^2 - 4m$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2m^2 - 4m = 0 \implies 2m(m - 2) = 0$$ Los valores críticos son **$m = 0$** y **$m = 2$**. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será compatible determinado.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los casos posibles: **Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq 2$** Si $m \neq 0$ y $m \neq 2$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rango}(A) = 3$. Como el rango máximo de la ampliada $A^*$ también es 3 y coincide con el número de incógnitas: **El sistema es Compatible Determinado (SCD).** Tiene solución única. **Caso 2: $m = 0$** La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ -3 & -1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$. Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, luego $\text{rango}(A) = 2$. Observamos que en $A^*$, la suma de las filas $F_1 + F_2 + F_3 = (0, 0, 0, 0)$. Esto indica que las filas son linealmente dependientes y $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas): **El sistema es Compatible Indeterminado (SCI).** Tiene infinitas soluciones. **Caso 3: $m = 2$** La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ -3 & -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$. Como $|A|=0$, comprobamos un menor de $A$: $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$, luego $\text{rango}(A) = 2$. Ahora comprobamos el rango de $A^*$ con el término independiente: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -3 & -1 & -3 \end{vmatrix} = (-12 - 6 - 1) - (-6 - 4 - 3) = -19 + 13 = -6 \neq 0$$ Como $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 3$: **El sistema es Incompatible (SI).** No tiene solución. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\} \implies \text{SCD} \\ m = 0 \implies \text{SCI} \\ m = 2 \implies \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema, si tiene solución, para el caso $m = 1$.** Si $m = 1$, el sistema es **Compatible Determinado** (según el apartado anterior). El sistema es: $$\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ -3x - y + z = -3 \end{cases}$$ Calculamos el determinante para $m=1$: $|A| = 2(1)^2 - 4(1) = -2$. Usamos la **regla de Cramer** para hallar las soluciones: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{(1-3+2) - (3-1+2)}{-2} = \frac{0 - 4}{-2} = 2$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{(4-3+3) - (6-6+1)}{-2} = \frac{4 - 1}{-2} = -\frac{3}{2}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ -3 & -1 & -3 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{(-6-6-1) - (-3-4-3)}{-2} = \frac{-13 - (-10)}{-2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** La regla de Cramer es muy útil cuando el sistema es pequeño (3x3) y ya conocemos el determinante de la matriz principal. ✅ **Resultado (Solución m=1):** $$\boxed{x = 2, \quad y = -\frac{3}{2}, \quad z = \frac{3}{2}}$$