Rectas tangentes y áreas de triángulos

**a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 2$.** Para hallar la recta tangente, necesitamos conocer el punto de tangencia y la pendiente. 1. **Punto de tangencia:** Evaluamos la función en $x = 2$: $$f(2) = \frac{1}{2}$$ El punto es $P(2, 1/2)$. 2. **Pendiente ($m$):** Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$: $$f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$ Evaluamos la derivada en $x = 2$ para obtener la pendiente $m$: $$m = f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$. Para $1/x$, la derivada siempre es $-1/x^2$.

Utilizamos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Sustituimos $a = 2$, $f(2) = 1/2$ y $f'(2) = -1/4$: $$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y = -\frac{1}{4}x + \frac{2}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$$ $$y = -\frac{1}{4}x + 1$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -\frac{1}{4}x + 1}$$

**b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = k$, donde $k$ es un número real positivo.** Seguimos el mismo procedimiento que en el apartado anterior pero utilizando el parámetro $k$: 1. **Punto de tangencia:** $f(k) = \frac{1}{k}$. 2. **Pendiente:** $f'(k) = -\frac{1}{k^2}$. Aplicamos la fórmula de la recta tangente: $$y - f(k) = f'(k)(x - k)$$ $$y - \frac{1}{k} = -\frac{1}{k^2}(x - k)$$ Operamos para simplificar la expresión: $$y = -\frac{1}{k^2}x + \frac{k}{k^2} + \frac{1}{k}$$ $$y = -\frac{1}{k^2}x + \frac{1}{k} + \frac{1}{k}$$ $$y = -\frac{1}{k^2}x + \frac{2}{k}$$ ✅ **Resultado (recta tangente genérica):** $$\boxed{y = -\frac{1}{k^2}x + \frac{2}{k}}$$

**c) Compruebe que la recta del apartado $b$ determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas. Calcule esta área.** El triángulo está formado por el origen $(0,0)$ y los puntos de corte de la recta tangente $y = -\frac{1}{k^2}x + \frac{2}{k}$ con los ejes cartesianos. 1. **Corte con el eje OY (abscisa $x = 0$):** $$y = -\frac{1}{k^2}(0) + \frac{2}{k} = \frac{2}{k}$$ El punto de corte es $A(0, 2/k)$. Como $k > 0$, la altura del triángulo es $h = \frac{2}{k}$. 2. **Corte con el eje OX (ordenada $y = 0$):** $$0 = -\frac{1}{k^2}x + \frac{2}{k}$$ $$\frac{1}{k^2}x = \frac{2}{k} \implies x = \frac{2k^2}{k} = 2k$$ El punto de corte es $B(2k, 0)$. Como $k > 0$, la base del triángulo es $b = 2k$.

El área $A$ de un triángulo rectángulo cuyos catetos están sobre los ejes es: $$Área = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$Área = \frac{(2k) \cdot (\frac{2}{k})}{2} = \frac{\frac{4k}{k}}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Como el resultado es un número real ($2$) que no depende de la variable $k$, queda demostrado que el área es constante para cualquier valor de $k > 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2 \text{ u}^2}$$