Operaciones matriciales e inversa por definición

**a) Compruebe que $(A - 2I)^2 = 3I$.** En primer lugar, calculamos la matriz resultante de la operación $A - 2I$: $$A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Restamos elemento a elemento: $$A - 2I = \begin{pmatrix} 2-2 & 1-0 \\ 3-0 & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para restar matrices deben tener la misma dimensión y se opera término a término.

Ahora calculamos el cuadrado de la matriz obtenida multiplicándola por sí misma: $$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto de matrices (fila por columna): $$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix} (0 \cdot 0 + 1 \cdot 3) & (0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ (3 \cdot 0 + 0 \cdot 3) & (3 \cdot 1 + 0 \cdot 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Observamos que el resultado es exactamente $3$ veces la matriz identidad $I$: $$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3I$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A - 2I)^2 = 3I}$$

**b) Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre la matriz inversa de la matriz $A$ en función de las matrices $A$ e $I$, y compruebe que coincide con la matriz $B$.** Partimos de la igualdad demostrada: $(A - 2I)^2 = 3I$. Desarrollamos el binomio teniendo en cuenta que $A$ e $I$ conmutan ($AI = IA = A$): $$(A - 2I)(A - 2I) = 3I \implies A^2 - 2AI - 2IA + 4I^2 = 3I$$ Como $I^2 = I$ y $AI = A$: $$A^2 - 4A + 4I = 3I$$ Para hallar la inversa, debemos aislar el término $I$ en un lado para poder factorizar $A$. Restamos $3I$ en ambos lados y movemos los términos con $A$ al otro: $$A^2 - 4A + I = 0 \implies I = 4A - A^2$$ Factorizamos la matriz $A$ por la izquierda (o derecha): $$I = A(4I - A)$$ Por la definición de matriz inversa ($A \cdot A^{-1} = I$), deducimos que: $$\boxed{A^{-1} = 4I - A}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$. Solo si las matrices conmutan ($AB=BA$) podemos decir que es $A^2 + 2AB + B^2$.

Calculamos explícitamente $4I - A$ para comprobar si es igual a $B$: $$A^{-1} = 4\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 4-2 & 0-1 \\ 0-3 & 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ Comparando con el enunciado, vemos que: $$B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = B}$$

**c) Calcule la matriz $X$ que satisface la igualdad $A \cdot X = B$.** Para despejar $X$ en la ecuación $A \cdot X = B$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B$$ Del apartado anterior, sabemos que $A^{-1} = B$, por lo tanto: $$X = B \cdot B = B^2$$ 💡 **Tip:** El orden al multiplicar por la inversa es crucial. Si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe entrar por la izquierda.

Calculamos $B^2$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$X = \begin{pmatrix} (2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3)) & (2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2) \\ ((-3) \cdot 2 + 2 \cdot (-3)) & ((-3) \cdot (-1) + 2 \cdot 2) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 4 + 3 & -2 - 2 \\ -6 - 6 & 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}}$$