Cálculo de parámetros y extremos relativos

**a) Calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$ si se sabe que la gráfica de la función $f$ tiene un extremo relativo en $x = -1$ y pasa por el punto $P = \left(-2, \frac{13}{5}\right)$.** Primero, utilizamos la información de que la función pasa por el punto $P(-2, 13/5)$. Esto significa que $f(-2) = \frac{13}{5}$. Sustituimos $x = -2$ en la expresión de $f(x)$: $$f(-2) = \frac{a(-2)^2 + (-2) + b}{(-2)^2 + 1} = \frac{4a - 2 + b}{4 + 1} = \frac{4a - 2 + b}{5}$$ Igualamos al valor dado: $$\frac{4a - 2 + b}{5} = \frac{13}{5} \implies 4a - 2 + b = 13 \implies 4a + b = 15$$ 💡 **Tip:** Cuando un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica, siempre se cumple la relación $f(x_0) = y_0$.

La segunda condición es que existe un extremo relativo en $x = -1$, lo que implica que la derivada en ese punto es cero: $f'(-1) = 0$. Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{ax^2+x+b}{x^2+1}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2ax + 1)(x^2 + 1) - (ax^2 + x + b)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{2ax^3 + 2ax + x^2 + 1 - (2ax^3 + 2x^2 + 2bx)}{(x^2 + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2ax^3 - 2ax^3 + x^2 - 2x^2 + 2ax - 2bx + 1}{(x^2 + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-x^2 + 2(a - b)x + 1}{(x^2 + 1)^2}$$ Imponemos $f'(-1) = 0$: $$f'(-1) = \frac{-(-1)^2 + 2(a - b)(-1) + 1}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{-1 - 2(a - b) + 1}{4} = \frac{-2(a - b)}{4} = 0$$ De aquí obtenemos que $-2(a - b) = 0$, es decir, **$a = b$**. 💡 **Tip:** En los puntos donde hay un extremo relativo (y la función es derivable), la pendiente de la recta tangente es horizontal, por lo que $f'(x) = 0$.

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 4a + b = 15 \\ a = b \end{cases}$$ Sustituimos $b = a$ en la primera ecuación: $$4a + a = 15 \implies 5a = 15 \implies a = 3$$ Como $a = b$, entonces $b = 3$. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a = 3, \quad b = 3}$$

**b) Para el caso $a = b$, calcule y clasifique los extremos relativos de la función.** Si $a = b$, la función se convierte en $f(x) = \frac{ax^2+x+a}{x^2+1}$. Utilizando la derivada calculada en el apartado anterior, si sustituimos $a = b$, el término $2(a-b)x$ desaparece: $$f'(x) = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$-x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, \quad x = -1$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son los candidatos a ser extremos relativos. Para clasificarlos, estudiaremos el signo de la primera derivada.

Para clasificar los extremos, analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos. Dado que el denominador $(x^2+1)^2$ es siempre positivo, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $1 - x^2$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \lt 0$, la función es decreciente. - En $(-1, 1)$, $f'(x) \gt 0$, la función es creciente. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, la función es decreciente. Calculamos las ordenadas de los puntos (usando $a=b=3$ del apartado anterior): - Para $x = -1$: $f(-1) = \frac{3(-1)^2 - 1 + 3}{(-1)^2 + 1} = \frac{5}{2} = 2.5$ - Para $x = 1$: $f(1) = \frac{3(1)^2 + 1 + 3}{(1)^2 + 1} = \frac{7}{2} = 3.5$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (-1, 2.5) \text{ y Máximo relativo en } (1, 3.5)}$$