Matrices de la familia S y ecuación matricial

**a) Calcule $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$.** Llamemos $M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Para realizar la operación $M \cdot N^{-1}$, primero debemos hallar la inversa de $N$. Calculamos el determinante de $N$: $$\det(N) = |N| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 4 - 1 = 3.$$ Como $|N| \neq 0$, la matriz es invertible. La inversa de una matriz $2 \times 2$ de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ se obtiene como: $$N^{-1} = \frac{1}{|N|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ Aplicando la fórmula: $$N^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para invertir rápidamente una matriz $2 \times 2$, intercambia los elementos de la diagonal principal y cambia el signo de los de la diagonal secundaria, dividiendo todo por el determinante.

Ahora multiplicamos $M$ por $N^{-1}$: $$M \cdot N^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Es más cómodo operar manteniendo el escalar $\frac{1}{3}$ fuera hasta el final: $$M \cdot N^{-1} = \frac{1}{3} \left[ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \right]$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Elemento $(1,1)$: $2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 4 - 3 = 1$ - Elemento $(1,2)$: $2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = -2 + 6 = 4$ - Elemento $(2,1)$: $3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 6 - 2 = 4$ - Elemento $(2,2)$: $3 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = -3 + 4 = 1$ Obtenemos: $$M \cdot N^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & 4/3 \\ 4/3 & 1/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\begin{pmatrix} 1/3 & 4/3 \\ 4/3 & 1/3 \end{pmatrix}}$$

**b) Encuentre todas las matrices de la familia $S$, es decir, de la forma $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$, que verifiquen la igualdad $A^2 = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.** Calculamos primero el cuadrado de la matriz genérica $A \in S$: $$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot a + b \cdot b & a \cdot b + b \cdot a \\ b \cdot a + a \cdot b & b \cdot b + a \cdot a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2 + b^2 \end{pmatrix}$$ Igualamos este resultado a la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} a^2 + b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2 + b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $a^2 + b^2 = 1$ 2) $2ab = 0$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos matrices son iguales si y solo si todos sus elementos correspondientes son iguales.

De la segunda ecuación $2ab = 0$, deducimos que para que el producto sea cero, al menos uno de los factores debe serlo. Por tanto, tenemos dos casos posibles: **Caso 1: $b = 0$** Sustituimos en la primera ecuación: $$a^2 + 0^2 = 1 \implies a^2 = 1 \implies a = 1 \text{ o } a = -1.$$ Esto nos da las matrices: $$A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I, \quad A_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I.$$ **Caso 2: $a = 0$** Sustituimos en la primera ecuación: $$0^2 + b^2 = 1 \implies b^2 = 1 \implies b = 1 \text{ o } b = -1.$$ Esto nos da las matrices: $$A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A_4 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado del apartado b):** Las matrices de la familia $S$ que cumplen $A^2 = I$ son: $$\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$