Optimización del coste de cableado

**Determine a qué distancia del cruce O en la carretera principal hay que situar la torre T para que el precio del cableado sea mínimo y cuál será el valor de este precio mínimo.** Primero, definimos la variable principal del problema. Sea $x$ la distancia en kilómetros desde el cruce $O$ hasta la torre $T$ en la carretera principal. Dado que la torre $T$ está situada entre el pueblo $A$ y el cruce $O$: - La distancia entre el pueblo $A$ y el cruce $O$ es $12$ km. - La distancia entre el cruce $O$ y la torre $T$ es $x$, donde $0 \le x \le 12$. - La distancia entre el pueblo $A$ y la torre $T$ será $12 - x$. Para calcular la distancia entre la torre $T$ y el pueblo $B$, observamos que forman un triángulo rectángulo $OTB$ con el cruce $O$ (ángulo recto). Los catetos son $OT = x$ y $OB = 9$ km. Por el **Teorema de Pitágoras**: $$d(T, B) = \sqrt{x^2 + 9^2} = \sqrt{x^2 + 81}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, realizar un pequeño esquema ayuda a identificar los triángulos rectángulos y aplicar Pitágoras correctamente.

El precio total del cableado, $C(x)$, es la suma de los costes de los dos tramos de cable: - Tramo $TA$: $(12 - x) \text{ km} \cdot 125 \text{ €/km}$ - Tramo $TB$: $\sqrt{x^2 + 81} \text{ km} \cdot 250 \text{ €/km}$ La función de coste a minimizar es: $$C(x) = 125(12 - x) + 250\sqrt{x^2 + 81}$$ Expandiendo el primer término: $$C(x) = 1500 - 125x + 250\sqrt{x^2 + 81}$$ El dominio de la función es $x \in [0, 12]$ km, ya que la torre se ubica entre $A$ y $O$.

Para hallar el mínimo, derivamos $C(x)$ respecto a $x$: $$C'(x) = 0 - 125 + 250 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 81}} = -125 + \frac{250x}{\sqrt{x^2 + 81}}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-125 + \frac{250x}{\sqrt{x^2 + 81}} = 0 \implies \frac{250x}{\sqrt{x^2 + 81}} = 125$$ Dividimos ambos lados por $125$: $$\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 81}} = 1 \implies 2x = \sqrt{x^2 + 81}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$(2x)^2 = (\sqrt{x^2 + 81})^2 \implies 4x^2 = x^2 + 81$$ $$3x^2 = 81 \implies x^2 = 27$$ $$x = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5,20 \text{ km}$$ Como $0 \lt 3\sqrt{3} \lt 12$, el punto crítico está dentro de nuestro intervalo de estudio. 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado en ecuaciones irracionales, siempre conviene comprobar que la solución tiene sentido en el contexto del problema (en este caso, $x$ debe ser positivo).

Estudiamos el signo de la derivada $C'(x)$ para confirmar que en $x = 3\sqrt{3}$ hay un mínimo relativo. Observamos que el denominador $\sqrt{x^2+81}$ es siempre positivo. Evaluamos en puntos cercanos: - Si $x = 0$, $C'(0) = -125 \lt 0$ (la función decrece). - Si $x = 6$, $C'(6) = -125 + \frac{1500}{\sqrt{36+81}} = -125 + \frac{1500}{\sqrt{117}} \approx -125 + 138,6 \gt 0$ (la función crece). **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3\sqrt{3}) & 3\sqrt{3} & (3\sqrt{3}, 12) \\\hline C'(x) & - & 0 & + \\\hline C(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ Al decrecer antes de $3\sqrt{3}$ y crecer después, confirmamos que existe un **mínimo absoluto** en ese punto.

Finalmente, calculamos el valor del coste mínimo sustituyendo $x = 3\sqrt{3}$ en $C(x)$: $$C(3\sqrt{3}) = 125(12 - 3\sqrt{3}) + 250\sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 81}$$ $$C(3\sqrt{3}) = 1500 - 375\sqrt{3} + 250\sqrt{27 + 81}$$ $$C(3\sqrt{3}) = 1500 - 375\sqrt{3} + 250\sqrt{108}$$ Como $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$: $$C(3\sqrt{3}) = 1500 - 375\sqrt{3} + 250(6\sqrt{3}) = 1500 - 375\sqrt{3} + 1500\sqrt{3}$$ $$C(3\sqrt{3}) = 1500 + 1125\sqrt{3} \approx 1500 + 1125(1,732) \approx 3448,56 \text{ €}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Distancia del cruce O: } 3\sqrt{3} \approx 5,20 \text{ km}}$$ $$\boxed{\text{Precio mínimo: } 1500 + 1125\sqrt{3} \approx 3448,56 \text{ €}}$$