Posición relativa y distancia entre rectas con parámetros

**a) Estudie la posición relativa para los distintos valores del parámetro $m$.** En primer lugar, extraemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$. La recta viene dada en su forma continua: $$r: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z + m}{1}$$ De aquí identificamos directamente: - Vector director: $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$ - Punto de la recta (haciendo $x=0$): $0 = -y \implies y=0$; $0 = z+m \implies z = -m$. Por tanto, $P_r(0, 0, -m)$. 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos. Para obtener su vector director, podemos realizar el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: $$s: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \rightarrow \vec{n}_1 = (1, 1, 0) \\ x - z = 0 \rightarrow \vec{n}_2 = (1, 0, -1) \end{cases}$$ Calculamos $\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ mediante el determinante: $$\vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_s = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(-1) = (-1, 1, -1)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar el vector con signo opuesto: $\vec{v}_s = (1, -1, 1)$. Para el punto $P_s$, damos un valor a una variable en el sistema de $s$, por ejemplo $x=0$: $$0 + y = 1 \implies y = 1$$ $$0 - z = 0 \implies z = 0$$ Obtenemos $P_s(0, 1, 0)$.

Comparamos los vectores directores de ambas rectas: $$\vec{v}_r = (1, -1, 1) \quad \text{y} \quad \vec{v}_s = (1, -1, 1)$$ Como $\vec{v}_r = \vec{v}_s$, los vectores son proporcionales (coincidentes en este caso), lo que implica que las rectas son **paralelas o coincidentes**. Para distinguir si son paralelas o coincidentes, comprobamos si el punto $P_s(0, 1, 0)$ pertenece a la recta $r$ sustituyéndolo en su ecuación: $$x = -y = z + m \implies 0 = -1 = 0 + m$$ La igualdad $0 = -1$ es una **contradicción**, lo que indica que $P_s \notin r$ independientemente del valor de $m$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas para cualquier valor de } m \in \mathbb{R}}$$

**b) Calcule $m$ para que la distancia entre las rectas $r$ y $s$ sea de $\sqrt{2}$ unidades.** Como las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de un punto de una de las rectas a la otra recta: $d(r, s) = d(P_s, r)$. La fórmula de la distancia de un punto a una recta es: $$d(P_s, r) = \frac{|\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (0, 1, 0) - (0, 0, -m) = (0, 1, m)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre rectas paralelas se reduce a la distancia punto-recta. No intentes usar la fórmula de rectas que se cruzan porque el denominador (producto mixto) daría cero.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r$: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & m \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{w} = \mathbf{i}(1 - (-m)) - \mathbf{j}(0 - m) + \mathbf{k}(0 - 1) = (1+m, m, -1)$$ Ahora calculamos los módulos necesarios: - $|\vec{w}| = \sqrt{(1+m)^2 + m^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 2m + m^2 + m^2 + 1} = \sqrt{2m^2 + 2m + 2}$ - $|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

Igualamos la expresión de la distancia al valor dado $\sqrt{2}$: $$\frac{\sqrt{2m^2 + 2m + 2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar las raíces: $$\frac{2m^2 + 2m + 2}{3} = 2$$ $$2m^2 + 2m + 2 = 6 \implies 2m^2 + 2m - 4 = 0$$ Dividimos entre 2 para simplificar: $$m^2 + m - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos posibles valores: - $m_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $m_2 = \frac{-4}{2} = -2$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1 \quad \text{y} \quad m = -2}$$