Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discuta el sistema en función del valor de $k$.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 1 & k & 1 \\ 2 & k-1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & k & -1 \\ 1 & k & 1 & 3 \\ 2 & k-1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & k \\ 1 & k & 1 \\ 2 & k-1 & 2 \end{vmatrix} = [2k + (-2) + k(k-1)] - [2k^2 + (k-1) + (-2)]$$ $$|A| = [2k - 2 + k^2 - k] - [2k^2 + k - 3] = k^2 + k - 2 - 2k^2 - k + 3 = -k^2 + 1$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$-k^2 + 1 = 0 \implies k^2 = 1 \implies \mathbf{k = 1, k = -1}$$ 💡 **Tip:** El determinante nos indica si la matriz es regular (rango máximo). Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es 3.

Si $k \neq 1$ y $k \neq -1$, el determinante de $A$ es distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 (número de filas) y el número de incógnitas es 3: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n^{\circ} \text{ de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}, \text{ el sistema es SCD.}}$$

Para $k = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Analizamos el rango de $A^*$. Si observamos las filas, notamos que $F_3 = F_1 + F_2$: $$(1, -1, 1, -1) + (1, 1, 1, 3) = (2, 0, 2, 2)$$ Esto implica que todas las filas de la ampliada son linealmente dependientes de las dos primeras, por lo que: $$\text{rango}(A^*) = 2$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = 1, \text{ el sistema es SCI.}}$$

Para $k = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & -2 & 2 & 2 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo (usando columnas 2 y 3 ya que la 1 y 2 son proporcionales): $$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Para el $\text{rango}(A^*)$, calculamos un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = [-2 + 6 + 2] - [2 - 6 + 2] = 6 - (-2) = 8 \neq 0$$ Entonces $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = -1, \text{ el sistema es SI.}}$$

**b) Resuelva el sistema para $k = 0$ y para $k = 1$.** Para $k = 0$, el sistema es SCD. Sustituimos $k = 0$ en el enunciado: $$\begin{cases} x - y = -1 \\ x + z = 3 \\ 2x - y + 2z = 2 \end{cases}$$ De la primera ecuación despejamos $y = x + 1$. De la segunda despejamos $z = 3 - x$. Sustituimos en la tercera: $$2x - (x + 1) + 2(3 - x) = 2$$ $$2x - x - 1 + 6 - 2x = 2 \implies -x + 5 = 2 \implies \mathbf{x = 3}$$ Calculamos $y$ y $z$: $$y = 3 + 1 = 4$$ $$z = 3 - 3 = 0$$ ✅ **Resultado ($k=0$):** $$\boxed{(x, y, z) = (3, 4, 0)}$$

Para $k = 1$, el sistema es SCI. Como vimos, $F_3$ es redundante, usamos las dos primeras ecuaciones: $$\begin{cases} x - y + z = -1 \\ x + y + z = 3 \end{cases}$$ Sea $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$. Reordenamos: $$\begin{cases} x - y = -1 - \lambda \\ x + y = 3 - \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$2x = 2 - 2\lambda \implies \mathbf{x = 1 - \lambda}$$ Restamos la primera a la segunda: $$2y = 4 \implies \mathbf{y = 2}$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, las soluciones dependen de un parámetro libre ($3-2=1$ grado de libertad). ✅ **Resultado ($k=1$):** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - \lambda, 2, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$