Área entre curvas y recta tangente

**a) Calcule el área de la región delimitada por las dos funciones.** Para hallar el área delimitada por $f(x)$ y $g(x)$, primero necesitamos encontrar sus puntos de intersección igualando ambas expresiones: $$f(x) = g(x)$$ $$-x^2 + x + 6 = -9x + 3x^2$$ Agrupamos todos los términos en un miembro de la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$0 = 4x^2 - 10x - 6$$ Dividimos entre 2 para simplificar: $$2x^2 - 5x - 3 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$$ Obtenemos los dos puntos de corte: $$x_1 = \frac{12}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -0.5$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración de la integral definida para calcular el área.

Para saber qué función está por encima de la otra en el intervalo $(-0.5, 3)$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: $$f(0) = -(0)^2 + 0 + 6 = 6$$ $$g(0) = -9(0) + 3(0)^2 = 0$$ Como $f(0) \gt g(0)$, la función $f(x)$ queda por encima de $g(x)$ en el intervalo. El área se calcula como: $$A = \int_{-0.5}^{3} [f(x) - g(x)] \, dx$$ $$A = \int_{-0.5}^{3} [(-x^2 + x + 6) - (-9x + 3x^2)] \, dx$$ $$A = \int_{-0.5}^{3} (-4x^2 + 10x + 6) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas siempre es la integral de la función superior menos la inferior.

Calculamos la primitiva e integramos aplicando la **Regla de Barrow**: $$I = \left[ -\frac{4x^3}{3} + \frac{10x^2}{2} + 6x \right]_{-0.5}^{3} = \left[ -\frac{4x^3}{3} + 5x^2 + 6x \right]_{-0.5}^{3}$$ Sustituimos los límites: $$F(3) = -\frac{4(3)^3}{3} + 5(3)^2 + 6(3) = -36 + 45 + 18 = 27$$ $$F(-0.5) = -\frac{4(-0.5)^3}{3} + 5(-0.5)^2 + 6(-0.5) = \frac{4}{24} + 1.25 - 3 = \frac{1}{6} + \frac{5}{4} - 3 = \frac{2 + 15 - 36}{12} = -\frac{19}{12}$$ El área es: $$A = F(3) - F(-0.5) = 27 - \left(-\frac{19}{12}\right) = 27 + \frac{19}{12} = \frac{324 + 19}{12} = \frac{343}{12} \approx 28.58 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{343}{12} \approx 28.58 \text{ u}^2}$$

**b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $(-2, 0)$.** Primero verificamos que el punto $(-2, 0)$ pertenece a $f(x)$: $$f(-2) = -(-2)^2 + (-2) + 6 = -4 - 2 + 6 = 0$$ La ecuación de la recta tangente en $x=a$ es: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Calculamos la derivada de $f(x)$: $$f'(x) = -2x + 1$$ Calculamos la pendiente $m$ evaluando en $x = -2$: $$m = f'(-2) = -2(-2) + 1 = 5$$ La ecuación de la recta es: $$y - 0 = 5(x - (-2)) \implies y = 5x + 10$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 5x + 10}$$

**Represente esta recta tangente y las funciones $f(x)$ y $g(x)$ en unos mismos ejes de coordenadas.** Para la representación representamos: - $f(x) = -x^2 + x + 6$ (parábola convexa). - $g(x) = 3x^2 - 9x$ (parábola cóncava). - $y = 5x + 10$ (recta con pendiente positiva que toca a $f(x)$ en $x=-2$).