Distribuciones Binomial y Normal: Reventones en carrera

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 2 reventones? (0.5 ptos)** En este primer escenario, tenemos un experimento con dos posibles resultados: el coche sufre un reventón (éxito) o no lo sufre (fracaso). Como el experimento se repite de forma independiente para 10 coches, estamos ante una **distribución Binomial**. Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de coches que sufren un reventón entre los $n = 10$ participantes. - Probabilidad de éxito: $p = 0.04$ - Probabilidad de fracaso: $q = 1 - p = 0.96$ - Número de ensayos: $n = 10$ Por tanto, $X \sim B(10, 0.04)$. 💡 **Tip:** Recuerda que una distribución binomial $B(n, p)$ modela el número de éxitos en $n$ pruebas independientes con probabilidad constante $p$.

Para calcular la probabilidad de que ocurran exactamente 2 reventones, aplicamos la fórmula de la probabilidad binomial: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Para $k = 2$: $$P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot (0.04)^2 \cdot (0.96)^{10-2}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$$ Sustituimos y operamos: $$P(X=2) = 45 \cdot 0.0016 \cdot (0.96)^8 \approx 45 \cdot 0.0016 \cdot 0.72139 \approx 0.05194$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=2) \approx 0.0519 \text{ (o } 5.19\%\text{)}}$$

**b) Se afirma que existe como mucho un 1% de posibilidades de que ocurran más de 2 reventones durante la carrera. ¿Es cierta esta afirmación? Justifícalo. (1 ptos)** Debemos calcular $P(X \gt 2)$. Para facilitar el cálculo, utilizamos el suceso contrario: $$P(X \gt 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$ Calculamos cada término por separado: - $P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot (0.04)^0 \cdot (0.96)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.66483 \approx 0.6648$ - $P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot (0.04)^1 \cdot (0.96)^9 = 10 \cdot 0.04 \cdot 0.69254 \approx 0.2770$ - $P(X=2) \approx 0.0519$ (calculado en el apartado anterior). Sumamos las probabilidades: $$P(X \le 2) = 0.6648 + 0.2770 + 0.0519 = 0.9937$$ Finalmente: $$P(X \gt 2) = 1 - 0.9937 = 0.0063$$ 💡 **Tip:** El uso del suceso complementario es fundamental cuando nos piden probabilidades de tipo 'más de' o 'al menos', para evitar sumar muchos términos.

La probabilidad obtenida es $0.0063$, que expresado en porcentaje es un **$0.63\%$**. Como $0.63\% \le 1\%$, la afirmación de que existe como mucho un $1\%$ de posibilidades es **cierta**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es cierta, ya que } P(X \gt 2) = 0.63\% \le 1\%}$$

**c) Estudiamos las competiciones realizadas en una temporada con un total de 250 coches ¿qué probabilidad hay de que se produzcan más de 12 reventones en total? (Suponiendo la independencia de los sucesos) (1 ptos)** Ahora tenemos una nueva distribución binomial con $n = 250$ y $p = 0.04$. Denotemos esta nueva variable como $Y \sim B(250, 0.04)$. Al ser $n$ un valor grande, comprobamos si podemos aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 250 \cdot 0.04 = 10$ 2. $n \cdot q = 250 \cdot 0.96 = 240$ Como ambos valores son mayores que 5, aplicamos la aproximación $B(n, p) \approx N(\mu, \sigma)$: - Media: $\mu = n \cdot p = 10$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{250 \cdot 0.04 \cdot 0.96} = \sqrt{9.6} \approx 3.098$ Por tanto, $Y \sim N(10, 3.098)$. 💡 **Tip:** Para que la aproximación de Binomial a Normal sea aceptable, se suele exigir que $np \gt 5$ y $nq \gt 5$.

Queremos hallar $P(Y \gt 12)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección por continuidad de Yates**: $$P(Y \gt 12) \approx P(Y' \ge 12.5)$$ Tipificamos la variable $Z = \frac{Y' - \mu}{\sigma}$: $$P(Y' \ge 12.5) = P\left(Z \ge \frac{12.5 - 10}{3.098}\right) = P(Z \ge 0.8069) \approx P(Z \ge 0.81)$$ Calculamos la probabilidad usando las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \ge 0.81) = 1 - P(Z \le 0.81)$$ Buscamos en la tabla el valor para $0.81$: $$P(Z \le 0.81) = 0.7910$$ $$P(Z \ge 0.81) = 1 - 0.7910 = 0.2090$$ 💡 **Tip:** La corrección por continuidad consiste en sumar o restar $0.5$ al valor discreto para abarcar el área completa del rectángulo que representaría ese valor en el histograma.

La probabilidad de que se produzcan más de 12 reventones en una temporada de 250 coches es aproximadamente del **$20.9\%$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \gt 12) \approx 0.2090}$$