Probabilidad con billetes en un sobre

Primero, identificamos el contenido del sobre y el total de billetes: - Billetes de $5\text{€}$: 4 unidades - Billetes de $10\text{€}$: 6 unidades - Billetes de $50\text{€}$: 2 unidades - **Total de billetes ($N$):** $4 + 6 + 2 = 12$ billetes. Como la extracción es **sin reemplazamiento**, al sacar el segundo billete el total será de 11 y la cantidad del tipo de billete extraído primero habrá disminuido en una unidad. Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidad donde $B_1$ es el primer billete y $B_2$ el segundo: 💡 **Tip:** En experimentos sin reemplazamiento, la probabilidad de la segunda extracción depende de lo ocurrido en la primera.

**a) Expresar el espacio muestral del experimento que va a realizar Aythami.** El espacio muestral ($E$ o $\Omega$) es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento. En este caso, cada resultado es un par ordenado $(v_1, v_2)$ que representa el valor del primer y segundo billete extraído. Los valores posibles son $5$, $10$ y $50$. Al extraer dos billetes, el espacio muestral es: $$E = \{(5, 5), (5, 10), (5, 50), (10, 5), (10, 10), (10, 50), (50, 5), (50, 10), (50, 50)\}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{E = \{(5, 5), (5, 10), (5, 50), (10, 5), (10, 10), (10, 50), (50, 5), (50, 10), (50, 50)\}}$$

**b) Si se quiere comprar un videojuego que cuesta $57\text{€}$, ¿qué probabilidad hay de que pueda hacerlo con los billetes que saca del sobre?** Para poder comprar el videojuego, la suma de los dos billetes debe ser mayor o igual a $57\text{€}$. Analizamos las parejas del espacio muestral cuya suma cumple $v_1 + v_2 \ge 57$: - $(10, 50) \implies 10 + 50 = 60\text{€}$ (Válido) - $(50, 10) \implies 50 + 10 = 60\text{€}$ (Válido) - $(50, 50) \implies 50 + 50 = 100\text{€}$ (Válido) Calculamos las probabilidades de cada suceso: - $P(10, 50) = \frac{6}{12} \cdot \frac{2}{11} = \frac{12}{132}$ - $P(50, 10) = \frac{2}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{12}{132}$ - $P(50, 50) = \frac{2}{12} \cdot \frac{1}{11} = \frac{2}{132}$ La probabilidad total es la suma de estas: $$P(\text{Suma} \ge 57) = \frac{12}{132} + \frac{12}{132} + \frac{2}{132} = \frac{26}{132}$$ Simplificando la fracción: $$P(\text{Suma} \ge 57) = \frac{13}{66} \approx 0.197$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Compra}) = \frac{13}{66} \approx 0.197}$$

**c) Si al final obtiene, con este experimento, $60\text{€}$ del sobre ¿qué probabilidad hay de que el primer billete fuera de $10\text{€}$?** Este es un problema de probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(B_1 = 10 | \text{Suma} = 60)$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Donde: - $B$ es el suceso "la suma es $60\text{€}$" - $A$ es el suceso "el primer billete es de $10\text{€}$" Primero, calculamos $P(\text{Suma} = 60)$. La suma es 60 en los casos $(10, 50)$ y $(50, 10)$: $$P(\text{Suma} = 60) = P(10, 50) + P(50, 10) = \frac{12}{132} + \frac{12}{132} = \frac{24}{132}$$ Ahora, el suceso intersección $(A \cap B)$ es "el primer billete es de $10\text{€}$ Y la suma es $60\text{€}$", que corresponde únicamente al caso $(10, 50)$: $$P(A \cap B) = P(10, 50) = \frac{12}{132}$$ Finalmente: $$P(B_1 = 10 | \text{Suma} = 60) = \frac{\frac{12}{132}}{\frac{24}{132}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la probabilidad condicionada, el denominador es la probabilidad de la condición que ya sabemos que ha ocurrido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0.5}$$